高考改编题练习

苏 玖

亲爱的同学们，给你一道题，先做做看，尝试改编一下，也可以参考后面的提示，相信你也可以举一反三，通过解一道题，学会解一类题．

题目（2019全国Ⅰ卷第17题）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设．（1）求A；（2）若+b=2c，求sinC．

（改编1）_______________________________________________

（改编2）_______________________________________________

（改编3）_______________________________________________

提示：近几年全国卷和各地高考卷中的解答题常见以三角形为背景，重点考查正余弦定理和两角和差三角公式的题目．这类问题是高考的重点题型之一．通过改变原题中的条件，利用正余弦定理将其转化为角的关系或边的关系，再结合三角形的面积公式求出相关的角的大小，继而求出有关三角函数式的值．

参考答案

（改编1）在△ABC中，S为其面积，三个内角为A，B，C，满足sin（B-C）=cosA，且B为锐角．

（1）求角C的大小；

（2）若S=2，求边c的最小值．

（改编2）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足

（1）求证：sinC=2sinAsinB；

（改编3）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足

（1）求证：tanA=9tanB；

（2）若△ABC的面积S=b2+c2-a2，求tanC的值．

解析

原题解析：（1）因为△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．

设（sinB-sinC）2=sin2A-sinBsinC．

所以，由正弦定理得：b2+c2-a2=bc，所以，

又因为0＜A＜π，所以

改编1：（1）因为sin（B-C）=cosA，A=π-（B+C），因此sin（B-C）=-cos（B+C），所以sinBcosC-cosBsinC=-cosBcosC+sinBsinC，

即sinB（sinC-cosC）-cosB（cosC-sinC）=0，即（sinB+cosB）（sinC-cosC）=0．又因为B为锐角，于是，sinB＞0，cosB＞0，所以，sinB+cosB＞0，所以sinC=cosC．因为sinC≠0，所以cosC≠0，所以tanC=1．又因为tanx在上，因此

改编2：（1）由正弦定理得，即sinAcosB+cosAsinB=2sinAsinB，即sin（A+B）=2sinAsinB．又因为A+B=π-C，所以sin（A+B）=sinC，所以sinC=2sinAsinB．

改编3：（1）由正弦定理得，即a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC，代入已知得ksinAcosB-ksinBcos

即5sinAcosB-5sinBcosA=4sin（A+B），展开化简整理得sinAcosB=9sinBcosA，

又因为cosAcosB≠0，所以tanA=9tanB．

解题回顾先利用正弦或余弦定理对已知边角混合等式进行等价转化，然后利用两角和差正余弦公式进行求角或三角函数值，最后再求相关三角函数值．