基于精化锯齿理论的功能梯度夹心微板静弯曲模型

2019-01-09杨子豪

计算力学学报 2018年6期

杨子豪，贺丹

（沈阳航空航天大学辽宁省飞行器复合材料结构分析与仿真重点实验室，沈阳110136）

1 引言

精化锯齿理论（RZT）是一种适用于传统复合材料层合结构的特殊分层理论［1］。该理论的优势在于，能够同时准确预测多层结构的全局响应和局部行为，并具有包含高度不均匀夹心结构在内的广阔适用范围。随着该理论研究的延伸，Iurlaro等［2］首次将RZT推广至功能梯度夹心结构，并对两种不同结构的功能梯度夹心板进行了静力弯曲和自由振动分析。结果表明，RZT能够精确预测多种载荷和边界条件作用下的板最大弯曲挠度／自振频率、面内位移及应力分布。

近年来，功能梯度材料（FGMs）的应用已从宏观结构拓展至微观装置［3］和系统中［4，5］。传统的连续介质理论由于不能合理解释微结构中大量存在的材料尺度效应现象［6，7］，而不能用来对微／纳米功能梯度梁／板结构进行力学建模。陈万吉等［8］在修正偶应理论［9］的基础上提出了一种能够描述微尺度层合结构中尺度效应的各向异性修正偶应力理论（AMCST），并基于该理论开展了一系列对微尺度层合结构［10－12］的力学性能分析。

本文首次尝试在RZT的基础上结合AMCST，建立能够同时准确预测功能梯度夹心微板弯曲挠度、局部位移和应力分布的静弯曲模型。模型中引入两个用于描绘功能梯度夹心结构微观特性的正交材料尺度参数（MLSPs），使其具备了能够描述由结构微观各向异性引起的两个正交方向上不同程度尺度效应的能力。

2 新修正偶应力理论

在AMCST中，应变张量的定义与传统理论相同，曲率张量重新定义为

式中 ui为平动位移，ωi＝eijkuk，j／2为转动位移。本构关系定义为

式中σij和Cijkl分别为应力张量和刚度矩阵系数，mij为偶应力张量，Gi（i＝1，2，3）为正交各向异性弹性体不同方向上的剪切模量，i（i＝1，2）则为两个正交方向上的MLSPs。

3 RZT功能梯度夹心微板

微尺度功能梯度夹心板的坐标系、中性面以及几何尺寸如图1所示。可以看出，z为板内一点距板几何形心面的距离；x轴在板几何形心面上与z轴垂直；微板的长度、宽度和总厚度分别定义为a，b和2h。

3.1 RZT位移场

以一阶剪切板位移场为基础函数，通过对面内位移添加分层Zigzag函数，实现模拟更真实变形情况的Zigzag型位移场：

式中u，v和w分别为板内一点沿x，y和z轴方向上的位移；u0和v0为几何形心面位移；θx和θy分别为微板截面绕x轴和y轴的转角；角标k对应于第k层单层板的相应变量；（α＝x，y）为Zigzag函数，对于功能梯度单层，其为高度非线性函数；φα（α＝x，y）为峰值函数；（α＝x，y）可视为相对于均质梁／板位移场而应用到层合结构中的修正项。

图1 功能梯度夹心微板Fig.1 Sketch of the FG sandwich micro-plate

根据工程应变分量的表达方式，板的横向剪切应变分量表示为

3.2 本构关系

经坐标转换后，全局坐标系下第k层正交各向异性单层板的本构关系为σ（k）＝Q（k）ε（k）。其中，Q（k）＝T（k）TC（k）T（k）为全局刚度矩阵。T（k）为坐标转换矩阵［8］；C（k）为忽略横法向应力的局部刚度矩阵：

式中 Ci（z）（i＝11，12，21，22，44，55，66）为宏观弹性矩阵系数，1（z）和2（z）为两个正交方向上的MLSPs。局坐标系下的刚度矩阵系数；Gα（α＝x，y）为沿板厚度方向的常数，其物理意义为加权平均剪切刚度。因为＝z，且由原则（1）可知

3.3 Zigzag函数

为了完全定义Zigzag函数，一些基于原始RZT的原则和公式得到应用及扩展［2］，（1）Zigzag函数在板的上下表面应取值为0，即（z＝－h）＝（z＝h）＝0（α＝x，y）。其中，N代表板的顶层。（2）为达到精准预测横向剪切应力的目的，RZT规定了斜率函数βα（k）（z）与各层刚度系数之间的关系为（z）（1＋（z））＝Gx，）（z）（1＋（z））＝Gy。其中，和为全

则加权平均剪切刚度Gα的完整表示式可通过对原则（2）两边沿z积分得到

式中zk和zk－1分别第k层单层板沿板厚度方向的上下界。由原则（1）和式（7）即可完全定义（z）。由于功能梯度材料沿厚度方向连续变化的特性，导致（z）不再为传统层合或夹心结构中的分层线性函数，而成为与功能梯度变化方式有关的分层非线性函数。

4 平衡方程和边界条件

基于虚功原理推导本文模型的平衡方程和边界条件。该原理可以表述为

边界条件为

或φy＝

ny（Qyz＋Yy／x／2－Yxy／y／2）＝或w ＝

式中nx和ny为板边界外法线方向余弦，且

5 算例分析

采用如图2所示的功能梯度夹心微板，其上下表层为功能梯度材料；夹心为均质材料且铺设角为0°，即［FGM／0°／FGM］。双向正弦载荷q＝q0sin（πx／a）sin（πy／b）。功能梯度微板材料属性除 MLSPs和泊松比外，其他参数均假设沿板厚度方向遵循式（11）的e指数形式梯度变化。

式中 P0对应于表1的工程弹性常数参考值，f（z）为分层功能梯度变化函数，

图2 受双向正弦载荷作用的功能梯度夹心微板Fig．2 FG sandwich micro－plate loaded a double sinusoidal load

表1 功能梯度夹心微板弹性常数Tab．1 Elastic constants of FG sandwich micro－plate

式中 P0对应于表1的工程弹性常数参考值，f（z）为分层功能梯度变化函数，式中2h为板的总厚度，k为功能梯度指数。简支板的边界条件为x＝0，a∶v0＝w＝ w／ y＝θy＝φy＝Nx＝Mx＝Yyx＝＋／2＝0，y ＝0，b∶u0＝w＝ w／ x＝θx＝φx＝Ny＝My＝Yxy＝－／2＝0。位移试函数为w＝Wsin（πx／a）·sin（πy／b），｛u0，θx，φx｝＝｛U，Θx，Ψx｝cos（πx／a）sin（πy／b），｛v0θy，φy｝＝｛V，Θy，Ψy｝sin（πx／a）cos（πy／b）。将其代入式（10），便可得到完整位移函数。

5.1 尺度效应

研究尺度效应对功能梯度夹心微方板中力学行为的影响。为达到对比的目的，与参考文献［2］一致的无量纲处理定义为

当板跨厚比a／2h＝8时，尺度效应对微板挠度的影响如图3所示。图中，横坐标分别代表不同尺度参数与微板半厚度h的比值；纵坐标则为微板中心处最大无量纲挠度。功能梯度指数k在本算例中取值为5。

从图3可以看出，当微板几何形状保持不变（a／2h＝constant）时，基于本文模型所预测的无量纲挠度总是小于RZT给出的结果，即捕捉到微结构中实际抗弯刚度大于传统理论预测值的尺度效应现象。当微板厚度与MLSPs在数值上接近时，尺度效应显著；尺度效应随着微板厚度的增加而逐渐减弱，当微板几何尺寸远大于材料尺度参数时，尺度效应消失。此外，由尺度效应引起的板弯曲刚度增强在两个正交方向上程度不一［14］。这种由微观各向异性导致的现象最终用引入两个MLSPs的本文模型解释，而修正偶应力模型由于包含较少的材料尺度参数而不具备这种能力。

图3 尺度效应对微板挠度的影响Fig.3 Influence of the scale effect on micro-plate deflection

当沿着两个正交方向上的MLSPs均取值为0时，本文模型将退化为传统RZT功能梯度夹心板模型。此时，基于本文模型得到的无量纲挠度、位移和应力与文献［2］的对比列入表2。值得注意的是，为得到更加精确的横向剪切应力，采用与文献［2］一致的平衡方程积分方法。

由表2可知，当取值为0时，基于本文模型得到的板无量纲结果与传统RZT的3D弹性解高度吻合，验证了模型宏观部分的正确性和精确性。当板厚度不变，跨厚比取不同值时，基于本文模型得到的面内位移和应力与基于传统RZT得到的结果如图4所示。图中，横坐标为面内位移／应力；纵坐标为沿板厚度方向坐标。1和2在本算例中假定为h，功能梯度指数k在本算例中取值为5。

从图4可以看出，当板厚度一定且／h保持不变时，两种板理论下微板面内位移和应力的差值（即尺度效应的影响）将随着板跨厚比的增加逐渐减小。