“平方差公式”课例与评析

鲁冰

【摘要】平方差公式是继完全平方公式后的第二个被广泛运用的公式.它是特殊的多项式乘多项式.

【关键词】平方差公式;探究;应用

教学内容：苏科版《义务教育课程标准实验教科书》七年级下册第9章“乘法公式”第二课时“平方差公式”.

教学过程：

一、创设情境，引出新课

师：下面有三条多项式，请大家快速地算出来，多项式乘多项式，第一题x的平方减1，第二题m的平方减4，第三题4x2减1，我们观察一下，多项式乘多项式，我们看左边，相乘的两个多项式有什么特点？结果又有什么特点？你能说一说吗？

生：左边都是x+1乘x-1.

师：用文字语言说一说.

生：左边是第一个多项式两个数相加，第二个多项式是这两个数相减，右边平方相减.

师：能不能把你发现的规律用字母表示数表示出来？

生：（a+b）（a-b）=a的平方-b的平方.

师：我们通过猜想，用猜想表示你发现的规律，（a+b）·（a-b）=a的平方-b的平方，同学们，从猜想到发现规律在数学上叫什么思想？

生：从特殊到一般.

二、动手实践，探索新知

师：从特殊到一般得到的结论我们要进行验证或证明，怎么来证明它的正确性呢？

生：很简单，我们可以用多项式乘多项式验证（学生动手操作）.

师：通过多项式乘多项式，从数的角度证明等式的规律是正确的，我们还可以通过图形法来证明，我们看一下如何用图形法来证明这个结论是成立的，我们分析一下等式的右边——a的平方减b的平方，那么平方与什么有关？

生：面积.

师：如何构造a的平方减b的平方.

生：两个正方形面积相减，这是边长为a的正方形，然后在它的左下角画一个边长为b的正方形，我们这个红色的部分就是a的平方减b的平方.

师：那么我们怎么来构造a+b乘a-b呢？我们通过面积割补法，怎么割，我们把图形另外画出来，我们通过割和补，补成一个a加b和a减b，这样一个长乘宽的长方形，怎么割呢？沿着这条直线割下来，a减b割下来，然后把它旋转拼到右侧，我们知道这个边长为b，把不规则图形通过割补变成规则的长方形，那么这个长方形的长是多少？

生：a+b.

师：宽呢？

生：a-b.

师：根据什么不变？

生：面积不变，根据面积不变性.

师：我们验证了这个等式（a+b）（a-b）=a的平方+b的平方，我们通过面积法，图形的方法也可以证明（a+b）（a-b）=a的平方+b的平方，这里也体现了我们一个数学思想，叫数形结合，某些数的知识可以通过图形的面积来证明，这在我们今后的学习中用的非常多.

师：通过两种方法证明这个等式成立，那么我们把这个等式叫什么呢？平方差公式，这就是我们今天学的公式，平方差公式（a+b）（a-b）=a的平方+b的平方，请同学们用文字语言表述一下这个公式.

生：一个数加另一个数的和乘这个数减另一个数等于这两个数的平方差.

师：我把它稍微优化一下，一个数和另一个数我们统称为两个数，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，公式的命名是有公式右边得到的，右边是一个平方差.

分析一下公式的特点，这个公式左边有什么特点右边有什么特点？

生：左边有两个相同的a.

师：a我们称为相同项，这里的加b减b，看成正b，负b，他们是什么项，相反项，左边有两个相同项，还有两个相反项，那么右边呢？这个是谁的平方？

生：a的平法，相同项的平方，b的平方，相反项的平方.

师：我们这个公式最大的特点就是：左边两个多项式相乘的时候，一项相同，另一项相反，而右边始终是相同项的平方减相反项的平方，记住公式的结构特点，学了公式之后用来解决什么问题呢？形如（a+b）（a-b）的两个多项式相乘直接用公式来计算，就不需要用多项式乘多项式了.

三、应用新知，解决问题

教学反思：

本节课的教学设计，笔者（执教者）创设情境，引导学生通过思考、探索、交流，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习，促进学生在教师的指导下生动活泼、自主地、富有个性地学习，力争体现“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者和合作者”的教学理念，使学生的知识和技能得到全面的发展.

1.设置情境，引导问题

笔者在本课开头利用一组特殊的多项式乘多项式，让学生通过计算自己总结发现的规律，从特殊到一般，培养了学生总结归纳的能力.

2.學会学习，主动探索

让学生通过科学有力的证明探索结论的准确性，培养学生严谨的数学思维.归纳平方差公式的特点，使学生学会探索新知.

3.学会“用”数学，解决问题

把平方差公式熟练运用，使学生进一步感受数学的形态美.进一步让学生对几何图形有更深入地了解.

总之，本课力争体现新课堂的教学理念，对新课程下新课堂的丰富内涵进行探索与有益地尝试，着力使新课堂成为数学学习的场所，使学生真正成为课堂的主人，提升教师和学生的核心素养！