两种重要极限的计算分析

摘要：两种重要极限作为微积分的重要内容，是微积分中极限求解的重要组成部分，该内容抽象，题目变化形式多样，灵活度较高，在学习过程难度较大。在具体的题目求解过程中，应在掌握定义的基础上，灵活分析问题，把握重点，熟练应用公式进行计算。

关键词：函数；极限；分析

1第一个重要极限

定义1： 或 .

分析：当x→0时，sinx→0，两者的比值的极限在x→0时为0，即为等价无穷小。

注：计算过程中sinx中变量的整体（x）→0，同时作为比值的另一部分与中sinx中变量的整体（x）完全相同。若不同，则公式不能直接應用。

（1）利用定义直接求解

利用定义1极限的定义，对相对简单的题目进行直接计算。例如，

（2）先化简后求解

利用三角函数进行转化，使其出中sinx的相近形式，再套用公司进行极限计算。例如，

（3）三角函数公式

利用三角函数公式[2]，对式子进行分解变换。例如，

（4）未出现x的形式

首先根据sin函数的形式构造出变量。例如，

2 第二个重要极限

2.1 x→∞的情形[2]

定义2 .

（1）公式法的计算。

（2）次方为负数的计算。

例如，

（3）运算符为负数的计算[3]。

例如，

2.2 x→0的情形[3]

定义3

（1）公式法的计算。

（2）次方为负数的计算。

例如，

（3）运算符为负数的计算[3]。

例如，

2.3 其它变换函数的情形

（1）复合三角函数

例如， .利用换元法，设t=tanx，当x→0时，t→0。所以，

（2）多项式形式

例如， .分子分母同除以xx，

或者采用如下变化，

（3）与洛必达法则结合

第一个重要极限，可理解为两个无穷小量的比较，这样采用洛必达法则也可以进行相应的计算。

例如，

例如，

3总结

两个重要极限的求解是一元函数极限的常见题目解，在具体题目的计算上，根据不同的题目应判别形式后再近些计算，做到、应具体问题具体分析，保证就是过程尽量简单准确。

参考文献：

[1]叶永春等.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2017.

[2]同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2010.

[3]熊庆如.高等数学[M].西安：西安交通出版社，2015.

作者简介：张延利（1980.9-），男，山东莱芜人，硕士，讲师，从事高等数学教学。