三次函数图像的基本特点初探

段春林

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2019）51-0122-01

我们把形如y=ax3+bx2+cx+d（a≠0，b，c，d∈R）的函数称为三次函数，对其图像的考查在高考命题中常常出现，有鉴于此，本文将对三次函数图像的一些特性作一初步探讨。

我们先从一个例子谈起：

下图是y=x3-3x2-9x+5经过列表描点所画出的三次曲线。

从图中可以看出：曲线光滑且连续;

第一，从左向右看，曲线经由第Ⅲ象限而来，从第Ⅰ象限离去，这点从“优势原则”可得，优势原则可表述为：对于充分大的|x|，多项式的值取决于最高次项，即对于充分大的|x|，|x3|的值超过|-3x2-9x+5|，因此，对于充分大的|x|，由x>0推得y>0，由x<0推得y<0.

第二，此三次函数的定义域与值域均为R，是否一般三次函数都有这一结果？

第三，这个三次函数有两个极值点，极大值点（-1，10），极小值点（3，-22），这一情况可通过讨论y′得到，令y′=0，即x2-2x-3=0，得x=-1或x=3.

第四，曲线的纵截距为d=5.

第五，此三次曲线有三个零点，由零点存在性定理可知，三个根分别在（-3，-2），（0，1），和（4，5）之间，因为f（-3）=-22，f（-2）=3，f（0）=5，f（1）=-6，f（4）=-15，f（5）=10.

第六，此函数的单调区间∵y′=3（x2-2x-3）

令y′>0，得x∈（-∞，-1）∪（3，+∞），令y′<0，得x∈（-1，3），由此可知，x∈（-∞，-1）和x∈（3，+∞）时y=f（x）单调递增，当x∈（-1，3）时，y=f（x）单调递减。

第七，研究y″得到y″=6x-6，令y″>0，得x>1.

若x<1，y=f（x）为上凸函数，若x>1，y=f（x）为下凸函数，（1，f（1））是此函数图像的拐点;

第八，有对称中心，其对称中心是（-，f（-））.证明如下：

设函数y=ax3+bx2+cx+d（a≠0，b，c，d∈R）的对称中心为（m，n）。

按向量=（-m，-n）将函数的图像平移，则所得函数y=f（x+m）-n是奇函数，所以f（-x）=-f（x），即f（-x+m）-n=-（f（x+m）-n），于是f（-x+m）+f（x+m）-2n=0

化简得：（3ma+b）x2+am3+bm2+cm+d-n=0

上式对x∈R恒成立，故

3am+b=0am3+bm2+cm+d-n=0

得m=-，

n=am3+bm2+cm+d=f（-）。

所以，函数y=ax3+bx2+cx+d（a≠0，b，c，d∈R）的对称中心是（-，f（-））。

那么这个对称中心有无特殊性，即它是不是在图像的特殊位置呢？我们有了如下结论：若三次函数y=ax3+bx2+cx+d（a≠0，b，c，d∈R）有极值点（有的话，必有两个，一个极大，一个极小）（x1，f（x1））和（x2，f（x2）），则它的对称中心是两个极值点的中点（，f（））.

证明：不妨设3ax2+2bx+c=0为f（x）的导函数方程，其判别式△=4b2-12ac>2.，設f（x）两极值点为A（x1，f（x1））和B（x2，f（x2））.

易知x=为y=3ax2+2bx+c的对称轴，∴f（）=f（-）

故此时的对称中心是两个极值点的中点，同时也是函数   f（x）的拐点。

从以上结论可知，我们对三次函数图像的讨论主要集中在8个方面，即途经的象限、定义域、值域、有无极值、纵截距、零点个数、单调区间、拐点、对称中心。下面针对以上问题做一粗略讨论。

不妨设y=ax3+bx2+cx+d（a≠0）

∵y′=3ax2+2bx+c，y″=6ax+2b，

令y′=0（？鄢），其解的个数取决于△=4b2-12ac=4（b2-3ac）（？鄢？鄢）

令y″=0，解得x=-，此即为对称中心谈论的问题。

①若b2-3ac>0，（？鄢）式有两根，不妨设为x1、x2，y=f（x）有两个极值点A（x1，f（x1））和B（x2，f（x2）），有一拐点（-，f（-）），单调性为先单增（-∞，x1）后单减（x1，x2）再单增（x2，+∞）;

②b2-3ac≤0，（？鄢）式有两等根，图像与x轴有一个交点，即有一个零点，无极值点，有一拐点，单调性为单调递增。

综上可知，三次函数y=ax3+bx2+cx+d（a≠0，b，c，d∈R）有：

①定义域和值域均为R;

②当a>0时，曲线（从左向右看）从第Ⅲ象限“进入”，经第Ⅰ象限“离开”;

③当a<0时，曲线（从左向右看）从第Ⅱ象限“进入”，经第Ⅳ象限“离开”;

④纵截距为d;

⑤曲线与x轴至少交一次（其交点个数由△和极值点的坐标综合得出，前面已讨论，不再赘述）。