一种子弹射击木块问题的模型分析及图解方法

摘要：“子弹射击木块”是高中物理涉及牛顿运动定律知识、能量 、动量知识等的综合题，本文结合图形对其中两个木块用弹簧链接的问题进行深入分析，并结合高中数学微分知识建模与求解，利用MATLAB编程实现，最后用一个实例用图形阐述了两个木块的运动情况，结果可靠、形象生动.

关键词：子弹；木块；物理模型；数学模型；建模

作者简介：程舒扬（2001-），女，山东青岛，高中二年级，理科生.

子弹射击木块问题是高三综合复习时的经典物理题型，这类题型往往涉及动量定理、动量知识、能量守恒和转化的知识的综合运用，研究对象多、过程复杂、综合性强；尤其是可与弹簧或细绳结合，组成涉及到力与运动、弹簧形变等更加复杂的问题.不少学生理解起来非常困难.高三同学已经完成了高中数学中有关简单微分和积分知识的学习，因此本文利用图形和数学建模方法来对其进行阐述.

1问题描述

如图1所示，即为该题型一类常见的习题：中间用弹簧相连接的两个木块静止于光滑的水平面上，被一质量为m、速度为v0的子弹击中后，子弹留在第一个木块内，试分析弹簧压缩到最短或拉伸至最长时，两木块的运行速度关系.

该类题目一般会假设在子弹击中后，在两个木块的运动过程中弹簧始终处于弹性限度内，且木块 A、B 不会发生直接碰撞.本文针对这种情况，通过物理模型分析和数学建模求解，详细阐述当弹簧压缩到最短或拉伸至最长时，两木块的运行速度相等的关系.

2物理模型

第一种情况，无论子弹质量、速度、两木块大小，运动始终在弹簧的弹性范圍内.

这种情况下，子弹射入第一个木块后留在木块内，可视为质量为（m+M1）的一个整体，忽略子弹在木块内的摩擦（以下同），以子弹初速度方向为正方向，dx为弹簧实际长度与自由长度之差，被压缩时dx<0，被拉伸时dx>0，分析如下.

（1）在初始时刻，第一个木块（包括子弹，以下同）的速度由机械能守恒定律获得，为最大v1max；弹簧不发生形变dx=0，两个木块均不受弹簧力F1=0，F2=0，第二个木块的初始速度v2=0，最小，系统的运动情况如图2中的①所示.

（2）第一块木块向前滑动，压缩弹簧发生形变，给第二个木块一个推动力，第二个木块也发生滑动；由于v1大于v2，相同时间内，第一木块运行的位移大于第二个木块的位移，二者间距变小，弹簧被压缩，发生压缩形变dx，弹簧进入压缩阶段；在该阶段内，第一个木块受到与运动方向相反的弹簧力为F1，运行速度由最大v1max逐渐变慢，用v1↓表示，第二个木块受到的弹簧力与第一个木块受到的弹簧力大小相等、方向相反，为F2=-F1，运行速度逐渐变快v2↑，系统的运动情况如图2②所示.

（3）弹簧继续被压缩，弹簧形变继续增大，两个木块受到相反的弹簧力继续增大，v1更快得变小，v2更快地增加，当v1=v2时，两木块之间没有相对位移，弹簧压缩形变最大即弹簧最短，系统的运动情况如图2③所示.

（4）然后v1小于v2，相同时间内，第一木块运行的位移小于第二个木块的位移，二者间距拉大，弹簧由最短状态逐渐被拉伸，但依然处于压缩状态，两木块的受力方向不变，v1继续变小，v2继续增加，系统的运动情况如图2④所示.

（5）当v1=0时，v2达到最大，弹簧恢复到最初的自由状态，两木块受到的弹簧力为0，系统的运动情况如图2中的⑤所示.

（6）第一个木块不动，第二个木块速度最大，二者发生相对运动，间距变大，弹簧进入拉伸阶段：此时，弹簧的拉力使第一个木块的速度v1增加，使第二个木块的速度v2减少，系统的运动情况如图2中的⑥所示.

（7）当第二次v1=v2时，弹簧拉伸至最长，系统的运动情况如图2中的⑦所示.

（8）此后v1>v2，弹簧形变由最长慢慢减小，但依然处于拉伸阶段，v1受到拉力作用v1继续增大，v2继续减小，系统的运动情况如图2中的⑧所示.

（9）当v2减小到0时，v1达到最大，弹簧再次恢复到自由状态，系统所有的能量转变为第一个木块的动能，v1达到初始的v1max，系统的运动情况如图2中的⑨所示.

由图2上述分析可见，状态⑨与初始态①完全相同，两木块的一个运动周期结束，下一个运动周期开始.在每个周期内，弹簧都经过如下的周期变化：自由状态→压缩→压缩至最短→压缩（恢复）→自由状态→拉伸→拉伸至最长→拉伸（恢复）→自由状态.弹簧形变方向（压缩还是拉伸）不同，两木块的受力方向不同，加速度方向也不同，可根据弹簧形变将周期分为压缩阶段和拉伸阶段.

3数学模型建立及求解

3.1数学模型

根据题意，竖直方向上的重力与支持力是一对平衡力，由于在光滑水平面上运动，因此可以忽略，只考虑水平方向的速度（动能）和弹簧作用力（势能）相互变化的关系.

根据能量守恒定律，在忽略了子弹在木块内的运行情况及能量损失后，系统的能量守方程如下：

E=E1+EP+E2（1）

其中，E为系统的总能量，E1为第一个木块（含子弹）的动能，E2为第二个木块的动能，EP为弹簧的势能.

E=12mv20（2）

E1=12（M1+m）v21（3）

E2=12M2v22（4）

Ep=12K（Δx）2（5）

根据速度公式可得两木块的速度

v1=v10+a1t（6）

v2=v20+a2t（7）

根据两木块相对运动关系可得弹簧的形变量

Δx=S2-S1=（v2-v1）t（8）

根据胡克定律可得弹簧的作用力

F1=KΔx（9）

F2=-F1（10）

根据牛顿第二定律可得弹簧作用力和加速的关系：

F1=（M1+m）a1（11）

F2=M2a2（12）

联立式（1）～（12），即可求得在任意时间点上两木块的运动速度、加速度、受到的弹簧力，弹簧的形变量以及能量转化情况.

3.2模型求解

以上模型中的变量随时间一直变化，矢量还存在方向的改变.用常规的高中知识是没有办法求解的.但可以借助高中数学中学过的微积分知识.

假设在极短的时间Δt（比如0.001秒）内，各变量的大小和方向不变，根据机械能守恒获得第一个木块的初速度有

12mv20=12（M1+m）v210（13）

v10=v0m（M1+m）（14）

即可逐步求得弹簧形变、弹簧作用力、两个木块的加速度，从而求得两个木块的运行速度，以及能量转化情况.这些计算可以借助MATLAB编程实现，计算步骤如图3所示.

4实例讨论与分析

假设有一个质量为20g的子弹以300m/s的速度射入质量为15kg的木块，该木块用弹簧与第二个质量为5kg的木块相连，弹簧的劲度系数为50N/mm， 用上述模型求解，所得的结果如图4、图5所示.

其中图4描述了弹簧形变量、两木块的速度、加速度、弹簧力的变化趋势，图5描述了弹簧形变、两木块动能以及总动能、弹簧势能的变化趋势.由此可见，木块的运动情况与前文的物理分析一致.

对比图4描述的各条曲线可见，当弹簧形变最大（压缩至最短或拉伸至最长）时，两木块的速度相等，加速度最大，弹簧作用力最大；对比图5描述的各条曲线可见，当弹簧形变最大（压缩至最短或拉伸至最长）时，弹簧势能最大，总动能最小.

当子弹的质量m、速度v0、两木块的质量M1和M2，以及弹簧的劲度系数K变化时，假定满足弹性极限范围时，图4和图5的振幅和頻率发生变化，变化趋势即运动规律不变.

5结论

本文通过结合高中数学的微分知识，利用数学建模的思想来探讨高中物理“子弹射击木块”问题，通过绘制木块运动的物理分析图以及运动参数的变化趋势图，形象生动地分析了两个被弹簧链接的木块在被子弹射中后，它们的运行特点，为分析此类习题提供了新思路.

参考文献：

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