投资组合对非系统性风险的发散作用*——基于单调非增次模集函数的证明

陈奕延 李 晔

(1.北京理工大学自动化学院， 北京 100081; 2.华北理工大学河北省数据科学与应用重点实验室， 河北 唐山 063210; 3.英国系统科学学会， 英国 伦敦 CR82AD)

1 投资组合及研究背景

投资组合是由投资主体持有的股票、债券、衍生金融产品等资产组成的集合.投资组合理论是1952年由马柯维茨(Harry Markowitz)提出的，该理论通常被认为是现代金融学的发端.投资组合的基本思想是将不同资产配置在一起，通过风散化的投资方式对冲掉一部分资产的非系统性风险.投资组合一直是国内经济领域研究的热点问题之一，许多学者通过对投资理论进行改进，从而衍生出许多改进型模型[1-5].李佳等[1]在含有交易费用的双目标函数模型中引入了背景风险，从是否含有背景风险和背景风险偏好度大小两方面对投资组合问题展开研究；费为银等[2]假设带有递归偏好的投资者在考虑通胀的背景下，通过考虑模型误定和通胀的随机波动对消费和投资组合带来的影响，建立投资者决策的值函数所满足的HJB方程，根据特定的效用函数推导最优消费和投资决策的显示解；徐维军等[3]基于方差或VaR方法度量投资组合风险的不足，在Roll的均值-跟踪误差模型基础上引入CVaR总风险约束，同时考虑到现实交易市场中存在交易费用约束和多元权值约束条件等因素，构建基于CVaR和多元权值约束下的积极投资组合模型；詹泽雄等[4]考虑了有限理性人决策行为特征及风险的心理感知对投资组合选择的影响，建立基于前景价值与下偏二阶矩的投资组合模型；胡支军等[5]在展望理论框架下，构建了考虑风险投资家损失厌恶心理特征的风险项目投资组合优化模型，给出了处理项目组合选择中价值估计不确定性的贝叶斯方法，并应用Monte Carlo模拟将模型转化为线性整数规划问题.诸如此类的研究还有许多，大多以研究模型为目的，从约束条件或模型结构上入手来分析解决投资中，却鲜有对该理论本身进行研究，特别是研究理论基本思想的证明.

本文的研究对象是投资组合理论本身，研究目的是用数学工具证明投资组合理论发散系统性风险这一基本思想的正确性，通过投资组合的单调非增次模集函数证明了该理论的正确性，并通过标准差构造的方程二次验证理论的正确性.详见图1.

图1 研究示意图

2 风险偏好及假设

风险偏好指投资主体承担风险的态度.风险偏好是制定风险决策的前提条件.根据投资主体承担风险的态度，可将投资主体的风险偏好分为三类：风险厌恶、风险追求以及风险中立.风险厌恶，指投资主体在预期收益相同时倾向于选择低风险的资产，同时在风险相同时倾向于选择预期收益较高的资产；风险追求，指投资主体通常主动寻求承担风险，喜好风险收益产生的波动性胜于风险资产的稳定性，当预期收益相同时，持风险追求态度的投资主体通常选择风险较高的资产，因为这会给它们带来更大的效用；风险中立，指投资主体既不回避风险，也不追求风险，而是按照预期收益的大小选择资产.

本文假设投资主体对风险的偏好是风险厌恶，即投资主体厌恶风险的产生，从而想方设法回避风险.因为投资组合理论的基本思想就是分散非系统性风险，故只有投资主体持风险厌恶态度时对这一理论的研究才更具实际意义.若不满足风险厌恶条件则无须回避风险，因为此时对投资主体而言风险大小对其并不产生决策上的影响，此时分析风险没有意义.

3 非系统性风险

(1)

(2)

(3)

4 单调非增次模集函数及证明

集函数多用于博弈论、优化算法、复杂网络等学科领域[7-11]，由定义可知[12]，给定有限集E={1,2,…,n}，设f为相应的集函数f:2E→R，若对于∀S,T⊆E，存在f(S)+f(T)≥f(S∪T)+f(S∩T)，则称f是次模集函数(submodular set function).若对于∀S,T⊆E，当T⊆S时有f(S)≤f(T)，此时则称f为单调非增次模集函数.下面用该函数及其性质证明投资组合对非系统性风险的发散作用.

设有限集合V={1,2,…n}，V是风险资产k组成的集合，k=1,2,…n，设ρ为风险资产的非系统性风险集函数，ρ:2V→R，若对∀S,T⊆V，T⊆S时有ρ(S)≤ρ(T)，并且有ρ(S)+ρ(T)≥ρ(S∪T)+ρ(S∩T)，则称ρ为投资组合中风险资产的非系统性风险的单调非增次模集函数，这里V及其任意子集均可视作一个由风险资产构成的投资组合.根据定义可知，对任意风险资产i,j∈V，不等式ρ({i})+ρ({j})≥ρ({i}∪{j})+ρ({i}∩{j})成立，即：

ρ({1})+… +ρ({n})≥

(4)

这里{i}∩{j}=∅，ρ({i}∩{j})=ρ(∅)=0，又因为ρ是单调非增的，{i}∪{j}={i,j}⊆V，有ρ({i}∪{j})≥ρ(V)，代入公式(4)可求得：

(5)

(6)

nρ(V)≥ρ(V)，将其与公式(6)一并代入(5)，则可得以下结论：

ρ({1})+…+ρ({n})≥ρ(V)=ρ({1,…,n}).

(7)

到此证毕.当n→+∞时，nρ(V)≫ρ(V)，则相应地ρ({1})+…+ρ({n})≫ρ({1,…,n})，可知当投资组合V中的风险资产个数n越大，投资组合对非系统性风的发散作用越明显，投资组合的整体非系统性风险小于投资组合中风险资产的非系统性风险的组合，即投资组合对非系统性风险有发散作用.

5 检验证明

使用标准差来再次证明上述章节的结论，若证明成立，则结论得到进一步强化.根据定义，设投资组合V的非系统性风险的标准差为σA，根据定义可知：

(8)

σi为风险资产i的标准差，wi为投资组合中投资于风险资产i的比例，设风险资产i的非系统性风险的组合标准差为σB，显然有：

(9)

(10)

证毕.由此可再次证明结论正确.

6 结 语

投资组合理论在实际中应用甚广，该方法可有效对冲抵消非系统性风险，从而使总体风险得到有效控制，本文通过单调非增次模集函数对该性质进行了巧妙地证明，并通过标准差再次证明结论正确，从而强化了这一理论，为今后研究投资组合在实践中的运用提供了理论依据.