有界洞型区域内一类半线性椭圆型方程边值问题的可解性

张 月，钟金标

（安庆师范大学数学与计算科学学院，安徽安庆246133）

文献[1]研究了半线性椭圆型方程边值问题正解的存在性，证明了存在正常数b∗，使对所有正数b＜ b∗，（1）式存在正解，而当b＞ b∗时，无解。

文献[2]研究了环型区域上半线性椭圆型方程边值问题，即讨论了解的存在性。

文献[3]研究了半线性椭圆型方程组边值问题解的存在性。

文献[4]讨论了半线性椭圆型方程边值问题解的存在性与不存在性。

受文献[1-4]研究思想启发，考察半线性椭圆型方程边值问题正解的存在性与唯一性，其中Ω为Rn中有界光滑区域，Γ1为Ω的内边界，Γ2为Ω的外边界，∂Ω=Γ1⋃Γ2光滑，b＞0是常数。设问题（2）中函数f(x,u)满足下列条件（或部分条件）：

(H1)f(x,s)关于(x,s)在×[0,+∞)上非负局部Holder连续；

(H4)f(x,s)关于s单调增加；

(H5)f(x,u)为 ×[0,+∞)上关于 u的 Lipschitz连续函数，Lipschitz系数为L，且L ＜ λ1，其中λ1为算子-Δ在0-Dirichlet边值条件下的第一特征值。

(2)式中非线性项f(x,u)在0与∞点处是超线性的，比文献[1]中非线性项更具一般性，与文献[2-4]中非线性项满足条件也不同，采用的证明方法也不尽相同，证得了解的存在性。下面证明解的存在性。设h为问题的解，则由强极值原理知，在Ω上，0＜h＜1，做变换=u+bh，则(2)式转换为

定理1若条件(H1)～(H4)成立，则存在b∗＞ 0，使当 b＜ b∗时，（3）式有非负解；若b＞ b∗，则无解。

证明 按下面三步证明。

(I)设k(x,y)为算子-Δ在0-Dirichlet边界条件的Green函数。R(x)为方程记 ||R0为R在Ω上的上确界，由条件(H2)知，存在常数b＞0，使当x∈Ω，u∈(0,2b)时，有的解。

由条件(H1)知f(x,ω+bh)≥ 0，从而Δuˉ≤ 0，结合上调和函数极值原理知uˉ≥0。现证uˉ∈D。

记 算 子 A=(-Δ)-1f∶D→D 如下 ：对 任 意ω∈D，Aω=uˉ∈D，其中 uˉ为(4)式的解。因为L-1=(-Δ)-1为紧算子，f连续，从而A是映射D到D的紧映射，由Schauder不动点定理[5]知，A有一个不动点uˉ∈ D，从而(3)式即(2)式对上面b＞ 0存在有界非负解。

(II)当b充分大时，(3)式没有非负解。

记λ1是算子-Δ在0-Dirichlet边值条件下的第一特征值，Φ()x是相应的正特征函数，将(3)式中方程两边乘上Φ()x，并在Ω上积分，利用Green第一恒等式，得

由条件(H2)、(H3)知，存在正常数C使

将(6)式代入(5)式得：

(III)记Λ={b|(2)式有正解}，由(I)中所证知，Λ非空，记b∗=supΛ，由(I)与(II)知0＜ b∗＜+∞，任取b＜ b∗，存在bˉ，b ＜ bˉ＜ b∗，(2)式有正解 ubˉ，由上调和函数极值原理及ubˉ在连续性知存在C＞0，使得作辅助函数由条件(H1)及(7)式知(x,u)是在Ω × [ 0 ,C]上的非负有界连续函数，从而问题

由下调和函数极值原理知ω≤0, x∈Ω0，从而在Ω0内0 ≤ ub≤ ubˉ，这与Ω0的定义矛盾，Ω0为空集，所以0≤ ub≤ ubˉ, x∈ Ω。从而(8)式的正解亦为(2)式的正解。作为定理的应用，下面给出了一个实例。

下面给出并证明(2)式解的唯一性定理。

定理2若条件(H5)成立，则(2)式至多只有一个解。

证明 设u1与u2为(2)式的两个解，则有

成立。将(10)式与(11)式相减后，左右两边乘以u1-u2，在Ω上积分并利用Green第一恒等式、Poincare不等式及条件(H5)得

矛盾，所以u1=u2，即解至多是一个。