浅谈初中数学思想

甘述鸿

一个优秀的学生不仅要学会教材中的知识，而且要善于发现和提炼教材内容背后所隐含的数学思想.数学问题的解决无不以数学思想为指导，以数学方法为手段，数学思想方法是数学学习的灵魂和精髓.在初中数学教学中渗透数学思想方法，引导学生在学习过程中发现问题、分析问题、解决问题，培养学生学习数学、应用数学的意识和能力.

数学思想是数学内容和数学方法在人的头脑中经过思维活动后产生的结果，数学思想是数学内容和数学方法的升华和结晶，我们知道，有许多具体的数学知识学过之后可能忘记，但那些数学知识所表现出来的数学思想是永远忘不掉的，而且可迁移使你终身受益，下面就介绍几种基本的数学思想.

一、分类思想

分类思想在初中代数中应用很广，如，实数可以分为有理数和无理数，有理数可分为整数和分数.整数又可分为正整数、零、负整数等等.另外，分类思想还应用在平面几何中.如，角可分为锐角、直角、钝角.两直线的位置关系分为相交、平行两类.点和圆的位置关系分为点在圆内、点在圆上、点在圆外等.

例1解关于x的方程：2ax-5=-x.

解移项整理得（2a+1）x=5.

当2a+1≠0，即a≠-12时，方程解为x=52a+1，

当2a+1=0，即a=-12时，方程无解.

二、整体思想

整体思想就是考虑数学问题时，不是着眼于它的局部特征，而是把着眼点放在问题的整体结构上，通过对其全面深刻地观察，从宏观整体上认识问题的实质，把一些彼此独立但实质上又相互紧密联系着的量作为整体来处理的思想方法.整体思想在处理数学问题时，有广泛的应用.

例2已知x-3y=-3，则5-x+3y的值是（）.

A.0

B.2

C.5

D.8

解5-x+3y=5-（x-3y）=5-（-3）=5+3=8.

三、数形结合思想

数形结合思想是指将数形结合起来进行分析、研究、解决问题的思维.著名数学家华罗庚先生说：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞;数无形时少直观，形少数时难入微;数形结合百般好，隔离分家万事休;切莫忘，几何代数流一体，永远联系莫分离.”这充分说明了数形结合思想在数学研究和应用中的重要性.抽象的数量通过几何图形表现出来就显得很直观.

例3已知：∠A为锐角，cosA=513，求tanA的值.

解由cosA=ABAC，可设AB=5a，AC=13a，

由勾股定理得BC=AC2-AB2=12a，

∴tanA=BCAB=12a5a=125.

四、方程与不等式思想

它是指所求问题通过列方程和不等式得到解决，在中学数学中应用极为广泛.学生要学会分析问题中的数量关系，寻找已知量与未知量之间的相等与不等关系.学会通过适当设元，列出方程（组）或不等式（组），从而解决问题的一种思维方式.

例4某服装老板到厂家选购A，B两种型号的服装，若购A型号9件，B型号10件则要1810元.若购进A型号12件，B型号8件则要1880元.

（1）求A，B兩种型号服装每件多少元.

（2）若售一件A型服装可获利18元，售一件B型服装获利30元，老板决定某次进货A服装数量是B服装数量的2倍还多4件，且A型服装最多可进28件，若想这次售完货后能赚不少于699元的利润，则有几种进货方案？如何进货好？

解（1）设A型服装每件x元，B型服装每件y元，则有

9x+10y=1810，12x+8y=1880， 解得x=90，y=100.

（2）设老板这次进A型服装a件，B型服装b件，则有

18a+30b≥699，b=a-42，a≤28.

（1）（2）（3）

将（2）式代入（1）且两边同除以33得到a≥23，又由（3）知a≤28，因为a，b是衣服数量应为整数，所以a的取值可为23，24，25，26，27，28.但要使b为整数时，a只能取24，26，28.

所以有三种进货方案可使利润不少于699元.

方案1：进A型服装24件，B型服装10件

方案2：进A型服装26件，B型服装11件

方案3：进A型服装28件，B型服务12件.

五、化归与转化思想

化归思想是指在解决问题的过程中，对问题进行转化，使之成为简单、熟知问题的基本解题模式，它是使一种数学对象在一定条件下转化为另一种数学对象的思想和方法.其核心就是将有待解决的问题转化为已有明确解决程序的问题，以便利用已有的理论、技术来加以处理，从而培养学生用联系的、发展的、运动变化的观点观察事物、认识问题.

数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学学科的精髓，是将数学知识转化为数学能力的桥梁.需要教师和学生长期坚持不懈地努力，共同完成.希望各位爱好数学的同学能够灵活地运用数学思想来解决更多的实际问题，使你的头脑更加聪慧.