两类抽象函数的周期性与对称性探究

徐永贤

【摘要】抽象函数不仅是高中数学教学的难点，也是高考的热点，特别是抽象函数中的周期型抽象函数和对称型抽象函数问题，是绝大多数学生最困惑、最难以解决的问题，因此，熟练掌握这两类抽象函数是非常重要的.

【关键词】周期型;对称型;抽象函数

在日常学习中，抽象函数是经常困扰学生学好函数的拦路虎，要想学好抽象函数就得熟练掌握两种类型的抽象函数：周期型抽象函数和对称型抽象函数，下面就这两类抽象函数做一些探究，供大家参考学习.

一、周期型抽象函数

（一）f（x）=f（x+T）型周期函数

周期函数定义：对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫作周期函数，非零常数T叫作这个函数的周期.

例1设f（x）是定义在R上的偶函数，图像关于x=1对称，任给的x1，x2∈0，12都有f（x1+x2）=f（x1）f（x2）且f（1）=a>0.求证：f（x）是周期函数.

证明∵f（x）的图像关于x=1对称，

∴f（x）=f（1+1-x），即f（x）=f（2-x），x∈R.

又由f（x）是偶函数知f（-x）=f（x），x∈R，

∴f（-x）=f（2-x），x∈R，

将上式中-x以x代换得f（x）=f（x+2），

∴f（x）是R上的周期函数，且2是它的一个周期.

（二）f（x+a）=f（b+x）型周期函数

若f（x+a）=f（b+x），则函数f（x）的周期为T=|b-a|.

证明令x=x-a，则f（x）=f（x+b-a）.

例2偶函数f（x）满足f（x-1）=f（x+1），且在x∈[0，1]时，f（x）=x2，则关于x的方程f（x）=110x在0，103 上根的个数是（）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

解由已知条件f（x-1）=f（x+1）得周期为T=2，

又∵在x∈[0，1]时，f（x）=x2，且f（x）是偶函数，∴f（x）=x2，x∈[-1，1]，

∴f103=f103-4=f-23=f23，

由图知f（x）=110x在[0，3]上根的个数是3个，

∵y=1103=11000<f23=49，

∴f（x）=110x在3，103上根的个数是0个.

故关于x的方程f（x）=110x在0，103上根的个数是3个.因此，选C.

（三）f（x+a）=-f（x+b）型周期函数

若f（x+a）=-f（x+b），则函数f（x）的周期T=2|b-a|.

证明令x=x-a，∴f（x）=-f（x+b-a）.①

令x=x-b，∴f（x+a-b）=-f（x）.②

由①②得-f[x+（a-b）]=-f[x+（b-a）]，

∴f[x+（a-b）]=f[x+（b-a）]，

∴T=2|b-a|.

例3设f（x）是定义在R上的函数，对任意的x∈R均有f（x）+f（x+2）=0，当-1<x≤1时f（x）=2x-1，求当1<x≤3时，f（x）的解析式.

解由任意的x∈R有f（x）=-f（x+2），

得T=2|2-0|=4.

設x∈（1，3]，则（x-2）∈（-1，1]，于是

f（x-2）=f（x-2+4）=f（x+2）=-f（x），

∴f（x）=-f（x-2）=-[2（x-2）-1]=-2x+5，

故当1<x≤3时，f（x）=-2x+5.

二、对称型抽象函数

f（a+x）=f（b-x）（或f（2a-x）=f（x）或f（2a+x）=f（-x））型对称函数

① 若f（a+x）=f（b-x），则函数f（x）图像的对称轴为x=a+b2.

② 若f（2a-x）=f（x），则函数f（x）图像的对称轴为x=a.

③ 若f（2a+x）=f（-x），则函数f（x）图像的对称轴为x=a.

下面仅对结论①进行证明，②③可类似证明.

证明要证函数f（x）图像的对称轴为x=a+b2成立，

只需证fa+b2+x=fa+b2-x.

令x=b-a2+x，代入f（a+x）=f（b-x），

则fa+b2+x=fa+b2-x.

抽象函数的学习，必须灵活把握两类函数中a，b的不同取值，以及注意函数f（x）前正负号的差异，并通过不断的学习积累，对抽象函数的学习才能达到事半功倍的效果.