清新的微笑

向佳钰

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）44-0100-01

我一看到大于号小于号，它们就在我的头脑中形成了笑脸。数学不等式的研究首先从欧洲国家兴起，东欧国家有一个较大的研究群体，特别是原南斯拉夫国家。从牛顿和欧拉在数学分析中取得重要成就到现在数学在物理科学、工程和其它领域的应用，数学不等式已受到了深远影响，由此可见数学不等式对于学生学习的重要性，而证明不等式就是其中的一个重要组成部分。

关于证明不等式的方法，我将简单的介绍四种。

一、基本不等式之“拆”、“凑”方法的运用

例1.设a>b>0，求证： a3+ ≥10

【解析】注意到

0

由于不等号方向一致，可将其试着代入整个式子，有

a3+ ≥ a3+

而 a3+ 又可拆为 a3+ ≥ a3+ = a3+ = a3+ a3+ + + ≥ 55 =10于是证毕。

【总结】在上面一道题中，我们为了把a消去，把 a3改成两项之和， 改为三项之和，这样就会得到一个常数，以上证明不等式并且这也是应用平均不等式解题的一个常用技巧。

例2.设x1，x2，……xn都是正数，

求证： + +……+ + ≥x1+x2+……+xn

【思路点拨】这个式子看似还蛮复杂的，我们同样先观察一下各式分子是平方，分母为一次，且整个式子递推关系极强，且x1，x2，……xn之间无范围大小规定，那么，我们来联想一下要是能把分母给消掉，也就是证明 ≥x1一切问题就迎刃而解了，但显然不成立，但如果在原不等式两边同时加上x1+x2+……+xn，再相应适当组合，就不难证明了。

【解析】 +x2≥2 =2x1；…… +x1≥2xn，把这n个不等式相加并简化，即得 +……+ ≥x1+x2+……+xn。

【总结】解不等式我们要善于联想到一些基本不等式的特征，通过适当变换和组合，这就好比是茫茫大海中的那盏若隐若现的灯，朝着这个方向一步一步做出调整与改進，最后达到目标。

二、基本不等式之局部-整体法的应用

例3.设a，b，c∈[0，1]，求证： + + ≤2。

【思路点拨】这个“2”在求证不等式中可谓相当出众，这里只给了a，b，c的取值范围，怎么就无缘无故地冒出一个常数2了呢？那么，我们可以从2入手，对2进行加工。于是从2开始，有2= = + + 放入整个不等式中，它们都是对称结构，那么我们只需证明一个局部不等式 ≤ 即可，分两种情况讨论：

（1）若a≠0则有 ≤ ，交叉相乘得a+b+c≤2bc+2？圳bc-b-c+1+bc+1≥a，bc-b-c+1+bc+1≥a？圳（b-1）（c-1）+bc+1≥a，而（b-1）（c-1）≥0，bc≥0而a≤1，不等式成立。

（2）若a=0，则0=0，不等式成立。

三个局部不等式相加即可得 + + ≤2。

【总结】上述过程中，正是因为我们有局部-整体思想的意识才会把2拆成 ，只有这样，局部才能一一对应。此外是配成因式（b-1）（c-1）巧用a，b，c的取值范围，可见在不等式的证明过程中，观察是否有因式可分解或配成因式是很有必要的。

三、基本不等式之替换的应用

例4.设a，b，c为正数，求证：

（ + + ）+（a+b+c）2≥4

【思路点拨】这个不等式看似复杂，但注意到它的齐次对称性，不妨设abc=1，于是不等式转化为： + + +（a+b+c）2≥4 ·

注意到 + + ≥33 =3，令 =t（t>0），现在来证明比原不等式更强的不等式：s+t4≥4 t。因为t= ≥ （ ）≥3 =1，所以3+t4=3+ + + ≥4·4 3= t3≥ ·t·（ ）2=4 t，从而原不等式成立。

【总结】这道题的解题手法与之前最大的不同之处就是将一个式子用t来替换，使原求证不等式变得简洁，从而其特征也会更加明显，如此题替换之后就可用我们之前所说的关于不等式的“拆”“凑”的方法来解决了。

综上列出的方法有：关于基本不等式的运用，“拆”、“凑”，局部-整体的应用， “不妨设”，而在不等式这滔滔大河中，证明不等式的方法还有很多。比如说构造法，反证法，放缩法，数学归纳法等等，这就需要我们用冷静的心作舟，挥舞的笔作浆，领略一番又一番不等式证明方法的美景，笑意自然就在脸上荡漾开来！

参考文献：

[1]奥数教程（高二）第六版

[2]数学奥林匹克小丛书高中卷第二版之平均值不等式与柯西不等式

[3]祁峰.《浅谈数学不等式理论及其应用》.焦作大学出版社，2003/02