梯形中智数有序几何算子及其在群决策的应用①

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(闽南师范大学数学与统计学院，福建 漳州 363000)

0 引 言

1965年Zadeh[1]提出模糊集的概念，为模糊信息的处理提供了一个有力的工具.Atanassov[2]在模糊集的基础上增加了非隶属度提出了直觉模糊集，但它不能处理所有类型的不确定、不协调的信息.为此，Smarandache[3]发展了中智集，其真实程度、不确定程度以及谬误程度是完全独立的.文献[47]提出了关于模糊集、直觉模糊集和中智集的几何平均算子.Ye[8]基于中智集以及梯形模糊数提出了梯形中智集的概念，文献[9,10]中提出了梯形中智数的AHP-Delphi、算术平均算子的群决策方法.文献[8]提出了梯形中智数的几何平均算子，但是这个算子只考虑了各个属性的权重，并没有考虑在集结过程中属性所在位置的重要程度.因此，文中提出了对元素进行排序考虑其属性所在位置的重要程度的梯形中智数有序加权几何算子(TNNOWG)，以及在考虑每个属性自身的重要程度的基础上，对属性所在位置的重要程度加以考虑提出了梯形中智数组合几何(TNNHG)算子. 研究了它们的一些性质，并探讨其在多属性群决策中的应用。

1 梯形中智数

定义1[3]设X为论域，x∈X，X上的一个中智数A可以由真实程度函数TA(x)，不确定程度函数IA(x)以及谬误程度FA(x)表示，其中TA(x),IA(x),FA(x)是]0-,1+[的标准或非标准实数子集，即TA(x):X→]0-,1+[，IA(x):X→]0-,1+[，FA(x):X→]0-,1+[，且

0-supTA(x)+supIA(x)+supFA(x)3+.

定义2[8]X是一个论域，则X中的一个梯形中智集N′可以表示为以下形式

N′={〈x,TN′(x),IN′(x),FN′(x)〉|x∈X}

其中TN′⊂[0,1]，IN′⊂[0,1]和FN′⊂[0,1]是三个梯形模糊数，

03.

定义3[8]设αi=〈(ai,bi,ci,di),

(ei,fi,gi,hi),(li,mi,ni,pi)〉(i=1,2)是两个梯形中智数，则它们的运算法则为

(1)

α1⊗α2=〈(a1a2,b1b2,c1c2,d1d2),(e1+e2-e1e2,f1+f2-f1f2,g1+g2-g1g2,h1+h2-h1h2)，(l1+l2-l1l2,m1+m2-m1m2,n1+n2-n1n2,p1+p2-p1p2)〉(2)

(1-(1-l1)λ,1-(1-m1)λ,1-(1-n1)λ1-(1-p1)λ)〉

定义4[8]设α=〈(a,b,c,d),(e,f,g,h),

(l,m,n,p)〉是一个梯形中智数，那么梯形中智数的得分函数与精确函数分别为

定义5[8]设αi=〈(ai,bi,ci,di),(ei,figi,hi),

(li,mi,ni,pi)〉(i=1,2)是两个梯形中智数，α1,α2的得分函数分别为S(α1),S(α2)，精确函数为H(α1),H(α2)，

则这两个梯形中智数的排序方法为

(1)若S(α1)>S(α2)，则α1>α2；

(2)若S(α1)=S(α2)，

(a) 若H(α1)>H(α2)，则α1>α2；

(b) 若H(α1)=H(α2)，则α1=α2.

2 梯形中智集几何集成算子及其应用

2.1 梯形中智集几何集成算子

算子集成理论在多属性决策中应用越发的广泛，但对于梯形中智数的集成算子的研究文献并不多. 在梯形中智数中，文献[8]提出了梯形中智数几何平均算子(TNNWGA).在此基础上下文提出了一些新的集成算子，即梯形中智数有序加权几何(TNNOWG)算子以及梯形中智数组合几何(TNNHG)算子.

定义6 设αj=〈(aj,bj,cj,dj),(ej,fj,gj,hj),

(lj,mj,nj,pj)〉(j=1,2,...,n)是一组梯形中智数，则梯形中智数有序几何算子(TNNOWG)为：

由TNNOWG算子及梯形中智数运算法则，可得下列定理.

定理1 设αj=〈(aj,bj,cj,dj),(ej,fj,gj,hj),

(lj,mj,nj,pj)〉(j=1,2,...,n)是一组梯形中智数，(ασ(1),ασ(2),...,ασ(n))是(α1,α2,...,αn)的一个置换，使得ασ(j-1)≥ασ(j)，并且ασ(j)=〈(aσ(j),bσ(j),cσ(j),dσ(j)),(eσ(j),fσ(j),gσ(j),hσ(j)),(lσ(j),mσ(j),nσ(j),pσ(j))〉.由梯形中智集的运算法则TNNOWG集成结果仍为梯形中智数，且

由梯形中智数运算法则以及数学归纳法可证定理1.

下面，将给出TNNOWG算子具有的一些性质.

性质1 (幂等性)设αj=〈(aj,bj,cj,dj),(ej,fj,gj,hj),(lj,mj,nj,pj)〉(j=1,2,...,n)是一组梯形中智数，若对于每个αj都有αj=α，那么

TNNOWG(α1,α2,...,αn)=α.

性质2 (边界性)设αj=〈(aj,bj,cj,dj),(ej,fj,gj,hj),(lj,mj,nj,pj)〉(j=1,2,...,n)是一组梯形中智数，且

α+=

那么α-TNNOWG(α1,α2,...,αn)α+.

TNNOWG(α1,α2,...,αn)

由于TNNWGA算子只考虑了属性自身的权重，TNNOWG算子只考虑了集结过程中属性自身所在的位置权重. 为了克服这些局限性，下面将提出在既考虑属性自身重要程度的基础上，还考虑了属性在集成过程中所处位置的重要程度的梯形中智数组合几何算子(TNNHG).

定义7 设αj=〈(aj,bj,cj,dj),(ej,fj,gj,hj),(lj,mj,nj,pj)〉(j=1,2,...,n)是一组梯形中智数，则梯形中智数组合几何算子(TNNHG)为：

其中w=(w1,w2,...,wn)T是与TNNHG相关联的加权向量，wj∈[0,1]且

是一组加权数据

由梯形中智数运算法则有以下定理.

定理2 设αj=〈(aj,bj,cj,dj),(ej,fj,gj,hj),(lj,mj,nj,pj)〉(j=1,2,...,n)是一组梯形中智数，由梯形中智集的运算法则TNNHG集成结果仍为梯形中智数，且

其中w=(w1,w2,...,wn)T是与TNNHG相关联的加权向量，wj∈[0,1]且

是一组加权数据

TNNHG算子也满足幂等性，边界性，单调性.

2.2 多属性决策方法对比

对文献[8]中的例子，利用文献[8]中的TNNWGA算子与这篇文章中提出的TNNOWG和TNNHG算子进行多属性决策方法的比较分析.

由Ye提出的TNNWGA算子进行集结得到的排序结果为A4≻A1≻A5≻A2≻A3.

由文中TNNOWG算子进行集结，取其位置权重为ω=(0.25,0.25,0.3,0.2)T，可得其排序结果为A4≻A1≻A2≻A5≻A3.

由文中TNNHG算子，对Dij4wj(j=1,2,3,4;i=1,2,3,4,5)进行排序集结，取其位置权重为ω=(0.25,0.25,0.3,0.2)T，可得其排序结果为A4≻A1≻A5≻A2≻A3.

从上面的例子可以看出，TNNOWG算子与TNNWGA算子的集结结果有所不同，体现了位置权重对方案的排序产生的影响. 例如在有些决策中需要对评价信息去掉最高分与最低分再对信息进行处理，相当于把排在第一位与最后一位的权重赋为0，这就体现了位置权重在信息集结过程中的作用. 虽然TNNHG算子的最终排序结果与TNNWGA算子的排序结果相一致，但也不能否认TNNWGA算子在集结过程中只考虑属性权重而不考虑位置权重所存在的缺陷. 而TNNHG算子在考虑属性权重的基础上也考虑了集结过程中的位置权重，使得最终的集结结果更具说服力.

3 基于梯形中智集模糊信息的群决策方法

现如今，许多决策问题需要由多个决策者共同完成，即群决策. 在群决策情形下，基于梯形中智集信息集成算子，即TNNOWG算子和TNNHG算子，给出属性权重完全未知并且属性值为梯形中智数的不确定多属性群决策的方法，具体步骤如下：

步骤4 利用得分函数对αi进行排序，得到最优方案.

4 实例分析

例1 假设有一家企业，为了拓展业务需要选择合适的项目进行投资. 现有方案Ai(i=1,2,3,4)可供选择.通过团队规模(C1),产品技术(C2)以及发展前景(C3)对这4个方案进行评估. 现有决策者dk(k=1,2,3)，权重向量为λ=(0.45,0.3,0.25)T，各指标下的评估信息用梯形中智数表示，各专家所给的决策矩阵分别为R1,R2,R3.

=〈(0.2781,0.3812,0.4517,0.5531),

(0.287,0.3631,0.3631,0.4438),

(0.1861,0.2416,0.2714,0.3316)〉

其余计算与此类似.

α1=〈(0.3386,0.4607,0.4988,0.5763),(0.2075,0.2704,0.3026,0.3713),(0.1253,0.2173,0.2494,0.3368)〉

α2=〈(0.3006,0.3976,0.4554,0.541),(0.1008,0.2199,0.2634,0.3517),(0.1856,0.3044,0.3282,0.4394)〉

α3=〈(0.3939,0.4999,0.5556,0.6405),(0.1183,0.2379,0.2534,0.3561),(0.1969,0.2999,0.3552,0.444)〉

α4=〈(0.4064,0.5097,0.5284,0.6429),(0.0882,0.2076,0.2619,0.3993),(0.0881,0.1674,0.2242,0.2969)〉

步骤3 利用得分函数计算αi的得分值S(αi)，可得：

S(α1)=0.6241,S(α2)=0.6244,

S(α3)=0.6515,S(α4)=0.6962

故其排序结果为A4≻A3≻A2≻A1，故最佳的投资方案为A4.

5 结 论

利用梯形中智集的运算法则，将传统的有序加权几何算子、组合加权几何算子拓展到梯形中智数，提出了TNNOWG算子和TNNHG算子，并且探讨了它们所具有的性质. 在多属性群决策的问题中，这些集成算子可以应用到属性权重未知同时属性值以梯形中智数的形式表示的情形中. 最后给出了具体的数值例子说明所给的决策方法的有效性.