球上从μ-Bloch空间到加权Bergman空间上的复合算子

杜 磊

(昆明理工大学 理学院， 云南 昆明 650093)

令dV为BN上的正规化体积测度。V(BN)对任意α>-1，令

dVα(z)=cα(1-|z|2)αdV(z)，

这里的cα是使得V(BN)=1的正常数。

如果p>0，α>-1，定义BN上的加权Bergman空间为

令μ(r)为[0,1)上的正连续函数，定义Bμ为μ-Bloch空间，由单位球上满足

的全体函数f∈O(BN)组成，其中显然Bμ为Banach空间，范数为

若μ(r)=1-r2或μ(r)=(1-r2)α(0<α<1)，生成空间Bμ分别为Bloch空间和Lipschitz空间。文献[1]中给出了μ-Bloch空间的详细说明。

对解析映射φ:BN→BN，定义线性复合算子Cφ:O(BN)→O(BN)为

Cφf=(f∘φ)(z),z∈BN。

关于Bergman空间到Bloch空间上复合算子的研究成果已经有很多，文献[1]中研究了单位球上Bergman空间到μ-Bloch空间上复合算子的有界性和紧致性，在文献[2]中进一步给出了加权Bergman空间到μ-Bloch空间上复合算子有界和紧的充要条件。国内外也有大量与此相关的研究，文献[3]中给出了单位球上α-Bloch空间和H∞空间上加权复合算子有界或紧的一些充要条件，文献[4]中给出了单位球上μ-Bloch空间之间加权复合算子有界和紧的充要条件，文献[5]给出了单位球上从标准加权Bergman空间到加权空间上加权复合算子有界和紧的充要条件，文献[6]给出了单位球上加权Bergman空间到β-Bloch空间上加权复合算子有界和紧的充要条件。

受上述文献的启发，本文研究单位球上从μ-Bloch空间到加权Bergman空间上复合算子的有界性和紧致性。

1 预备知识

下面给出了证明结果所需的引理。

该引理的证明可参考文献[1]中引理3.1，这里不再赘述。

引理3[10]对k=1,2,…,n，令ak≥0，那么若1≤p<+∞，有

2 结 论

定理1 令μ(r)为[0,1)上的有界连续函数。如果

(1)

因此，

定理得证。

定理2 令μ(r)为[0,1)上正连续函数。如果

(2)

由式(2)，存在0<δ<1，使得对满足δ<|z|<1的任意z，有

(3)

可得，当k→0时，有

由定理1的证明和式(2)，可得

紧致性得证。

3 结 语

到目前为止，对Bloch空间到加权Bergman空间上复合算子的研究鲜有报道，本文通过单位球上加权Bergman空间和定权Sobolev空间上的模等价，给出了单位球上μ-Bloch空间到加权Bergman空间的复合算子满足有界性或紧致性的充分条件，这对继续研究从μ-Bloch空间到加权Bergman空间的复合算子有重要的参考意义。