超线性椭圆型方程的非平凡解

高婷梅

(陕西理工大学 数学与计算机科学学院， 陕西 汉中 723000)

考虑如下带有Dirichlet边界条件的p-拉普拉斯方程：

(1)

此方程在耗散量子力学等很多物理现象中频繁出现，因此受到人们的广泛关注，如文献[1-6]。文献[1-2]在p=2的情况下，假设函数f(x，t)在无穷远处是超线性时，研究了方程(1)的解。即函数f(x，t)满足以下条件:

本文也将在超线性条件下讨论方程(1)的解。

山路引理是证明方程(1)解的存在性的一个重要方法。为了应用山路引理，要使得方程(1)所对应的泛函的几何结构和临界序列有界，(AR)条件起着至关重要的作用，即

此(AR)条件对于应用山路引理非常方便，但很多函数并不满足(AR)条件。事实上，(f1)就严格弱于(AR)条件。因此，很久以来，人们一直试图削弱(AR)条件，并且得到了许多丰富的结果。例如，可以用以下条件之一代替(AR)条件：

如果条件(b)成立，那么条件(f2)一定成立(证明见文献[4]的注1.5)。并且还可以找到一些函数，例如，f(x，t)=tp-1，当p=2时，f(x，t)t-pF(x，t)=0，显然f(x，t)不满足条件(a)和(b)。但是，由于H(x，t)=f(x，t)t-pF(x，t)=0，则∃θ=1,∀θ0>0,st：

则f(x，t)=tp-1满足条件(f2)。

当p=2时，文献[1]和[2]利用局部环绕定理[5]在超线性条件下讨论了方程(1)非平凡解的存在性，但它们都假设函数f(x，t)满足:

很明显，条件(a)是(c)的一个直接结论，而条件(f2)弱于(a)，从而也弱于(c)。本文将在条件(f1)和(f2)下，针对一般的p>1，证明方程(1)非平凡解的存在性。

1 预备知识

定义设E为实Banach空间，I∈C1(E,R)。如果使得{I(uk)}有界，且

(1+‖uk‖)I′(uk)→0((k→+∞)

的任一序列{uk}(uk∈E)都有一个收敛子列，则称泛函I满足(C)条件。

下面是本文将要用到的一个变形的山路引理，其证明见文献[7]。

山路引理[3]设E为实Banach空间，其对偶空间为E*，I∈C1(E，R)，且存在α<β，ρ>0及e∈E(‖e‖>ρ)，使得

I(un)→c≥β且(1+‖un‖)‖I′(un)‖E*→0(n→+∞)。

2 主要结果及证明

定义如下的C1泛函：

命题1 假设f(x，t)满足条件(f1)、(f2)及以下条件：

则泛函I满足(C)条件。

I(un)→c(n→+∞),

(2)

(1+‖un‖)I′(un)→0 (n→+∞)，

(3)

(4)

由式(2)、(4)，得

(5)

(6)

(7)

由式(3)，得

→0(n→+∞),

(8)

(9)

在式(9)中，令n→+∞，得

(10)

(11)

(12)

(13)

因为I(0)=0且I(un)→c，则由式(13)知，当n充分大时，必有0

(14)

因为0≤tn≤1，则|tnun|≤|un|。从而由(f2)、式(13)、(14)，可得

这与式(5)矛盾。所以{un}有界。由Sobolev紧嵌入及标准化方法，知{un}存在一收敛子列。故I满足(C)条件。

命题2 假设条件(f4)成立，则存在常数α∈(0，1)，使得

(15)

(16)

(17)

且有

(18)

(19)

由式(19)可知，v是特征值问题-△pu=λ|u|p-2u的第一个特征值所对应的特征函数。由p-拉普拉斯的相关结果可知v≠0，结合式(18)可知，a(x)=λ1在Ω上几乎处处成立，这与条件(f4)矛盾。所以，式(15)成立。

(20)

定理5 假设函数f(x，t)满足条件(f1)—(f4)，则方程(1)至少存在一个非平凡解。

证明寻找方程(1)的非平凡解等价于寻找泛函I(u)的非零临界点。由命题1、命题3及命题4，应用变形的山路引理，可以得到泛函I的一个非零临界点u0，且满足I(u0)≥β>0。由条件(f4)、f(x，0)=0，则I(0)=0，所以u0≠0。所以u0是方程(1)的非平凡解。