激活认知结构 培养创新能力

余亚明

学生在学习知识、技能时，在头脑中贮存了大量的经验，即“相似块”。进行思维活动时若能借助这些已有的“相似块”，在外界信息进入大脑后自动耦合、接通和激活，即活化相应的数学认知结构，被激活的部分在认识结构中不断扩充、延伸，而重新建构起来的认知结构，又为接受新知识做好再次被激活的准备，这样不仅解决了数学问题，还能大大提高创新能力。

一、在概念教学中，活化学生的认知结构

恩格斯曾說过：“在一定意义上科学的内容是概念的体系。”千真万确，纵观代数、几何课本，都是由一个个概念有机结合而成的完整的知识体系。因此，在平时的概念教学中，教师切忌直截了当地就概念讲概念，应更多地从概念的形成和发展的过程中为学生提供思维情境，在观察、比较、概括，由特殊至一般，由具体到抽象，由感性到理性的过程中，活化学生的认知结构，促进其认知结构的“同化”和“顺化”，提高其自我评价能力。

1.掌握概念的内涵，完善学生的认知结构

概念的内涵就是概念所反映的对象的本质属性，学习一个新要领，只有帮助学生真正掌握要领的内涵，才能使学生的认知结构更完善。如在教学“数轴”这一概念时，先让学生观察直尺、秤杆、温度计等熟悉的实物，使学生在大脑中建立起一个待学的几何模型的表象，激活其“原认知结构”后，再引导学生抽象出数轴的概念：“把规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴。”画出图形结合概念再引导学生与三个实物对照，进一步帮助学生理解要领与实物之间的一般与特殊的关系。并强调数轴的本质属性，即“三要素”（原点、正方向、单位长度），最后再让学生判断：下列图形中是数轴的是（ ），为什么？

实践证明，这样的概念教学设计，使学生不仅在建立新概念的过程中，易掌握新概念的本质属性，而且在新概念的应用中进一步弄清了概念的内涵，完善了学生的认知结构。

2.弄清概念的外延，激活学生的认知结构

概念的外延，是概念所确指的对象的范围，也就是概念所指的一切对象，而数学概念的外延随着问题情境的变化，往往不易被学生认清，从而导致学生在解题时迁移不畅，原认知结构不能活化。如果教师在概念教学中，有的放矢地激活原认知结构，就能克服自身思维定势和联想抑制的影响，启动原认知结构的“同化”和“顺化”的机能。如笔者在教一元二次方程的判别式这一概念时，与学生一起研究了书上的几道例（习）题，之后学生基本掌握了它的内涵：“一元二次方程有两个相等的实数根。”为了使学生进一步理解其外延，笔者设计了以下例题：

【例1】①已知是方程的两个实数根，且满足，求实数的值。

②若二次三项式是一个完全平方式，求实数的值。

③二次函数的最小值为零，求实数的值。

④已知的图象与轴只有一个公共点，求实数的值。

虽然，以上各题提出问题的情境各不相同，但它们的共同点都是依赖于，建立的一元二次方程，从而解得的值，学生通过这一组题的练习，不仅理解了一元二次方程、二次三项式、二次函数三者之间的微妙关系，而且还进一步弄清了一元二次方程根的判别式概念的外延，激活了根的判别式这个原认知结构，促进了认知结构的“同化”和“顺化”。

二、在例（习）题的教学中，培养学生的创新能力

例（习）题是初中数学教科书的重要组成部分，它是把知识、技能、思想和方法联系起来的一条纽带，是把知识化为能力的一座桥梁，例（习）题的教学过程是培养学生认知能力、促进学生认知结构的“同化”和“顺化”，从而实现新建构的主渠道。

【例2】如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE。

（1）求证：AF=BE；

（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ。MP与NQ是否相等？并说明理由。

图1 图2 图3

（1）根据正方形的性质，可知AB=AD，∠D=∠BAE=90°，根据正方形和垂直的性质进行等量代换，可知∠DAF=∠ABE，根据全等三角形的角边角判定定理，可知△ABE≌△ADF。根据全等三角形对应边相等，证得AF=BE。

评注：解决第（2）题时，引导学生回归到第一题的本质，则问题迎刃而解。

（2）如图3，过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于点E。根据正方形和平行线的性质证明四边形AFPM和四边形BNQE均为平行四边形，根据平行四边形的性质证明AF=MP，BE=NQ，再用（1）问证得AF=BE，等量代换得证MP=NQ。

【例3】（1）如图4，正方形ABCD的边长为2，H在CD的延长线上，四边形CEFH为正方形，则△DBF的面积为—。

如图5所示，连接CF。因为∠CBD=∠ECF=45°，根据“同位角相等，两直线平行”，得CF∥BD，所以△BDF和△BCD为同底等高的三角形，故△DBF的面积等于△BCD的面积，即2×2÷2=2。

评注：解决第（2）题时，引导学生把它与第（1）题适度嫁接，把第（1）题的认知体系置换到第（2）题中，问题得以解决。

（2）正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图6所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为—。

如图7，连接DB，GE，FK，则DB∥GE∥FK，

在梯形GDBE中，（同底等高的两三角形面积相等），同理，则=4×4=16。

总之，数学知识是互相联系、互相渗透的，有些题目所涉及的知识点单一，可以将这些习题与其他典型问题适度嫁接，就能活跃学生的思维，培养学生的几何直观意识，使学生形成较高的分析问题的能力，进而培养学生的创新能力。