杆环共同约束下小球的运动规律探析

陈玺君

(江苏省丹阳市吕叔湘中学 江苏 镇江 212300)(广西师范大学物理科学与技术学院 广西 桂林 541004)

1 引言

在高三复习课教学中，笔者常常遇到这样一类较难的杆、环共同约束下的小球运动问题：

D．小球a从静止运动至圆环最低点过程中，轻杆对小球a先做负功后做正功

图1 例题题图

2 题目评价

(1)全方位考察了学生对力学综合知识的掌握和应用

通过对以上题目的分析可知，该题综合性很强，涉及到了功能关系，运动和力之间的关系，机械能守恒定律等重要力学知识点.要求学生对于以上知识点的概念、规律理解深刻，运用熟练，若作为选择题的最后一题具有很好的区分度.

(2)能体现出编题者对高考关于能力考察要求的深刻理解和应用

该题充分体现了高考模拟考试对于考生的理解能力、逻辑推理能力、综合分析能力、应用数学处理物理的计算能力的考察，目标向高考看齐.选项中从定性、定量、最值、排除法4个纬度来设置疑问，需要学生具备全面的物理知识和严谨的分析能力，对学生的能力要求极高，应该说是一道好题.

(3)似乎有超纲嫌疑

连接体问题是高考乃至各地模拟试题都喜欢挖掘的题材，越来越多的被各地高考命题组专家、模拟试题命题小组所青睐，然而本题有些选项似乎难度较大，应该是一道大学理论力学试题，有超纲嫌疑，尤其是小球加速度的大小问题是用到杆、环约束关系，甚至达到了竞赛的层次要求.

3 学生解题中的合理思维

由于学生对D选项的考虑理由也不够充分，带有猜测的成分，另外C选项又不能使用高中物理知识处理，因为是排除法，所以弱化了对C选项小球a加速度的考查，使得这道题目美中不足，留下缺憾.

为此，笔者从大学理论力学的角度和仿真物理实验两个手段结合给出定量分析.

4 理论定量分析

4.1 速度、动能定量分析

在小球a,b运动的任意时刻，va,vb与轻杆(或延长线)的夹角均为45°，由于轻杆不可伸长，故小球a,b沿杆方向速度相同.

故

vacos 45°=vbsin 45°

(1)

即

va=vb

(2)

如图2所示，设小球a运动位置与圆心的连线与水平半径的夹角为θ.

图2 小球a运动中

对小球a,b与轻杆组成的系统，由系统的机械能守恒定律得

mgRsinθ-mgR(1-cosθ)=

(3)

由式(2)、(3)得

(4)

取g=10 m/s2，m=1 kg，R=20 m.代入式(4)得

100(sinθ+cosθ-1)=

(5)

(6)

作图如图3所示.

图3 f(x)图像1

(7)

即

(8)

代入数据得

(9)

作图如图4所示.

图4 f(x)图像2

vamax=vbmax=

(10)

与图4十分吻合.

利用“仿真物理实验”作出小球速度大小随时间的变化规律图像，如图5和图6所示.

图5 仿真物理实验

图6 |v|-t图

理论与实验结果一致.

4.2 加速度定量分析

4.2.1 切向加速度定量分析

式(7)对时间求导得

(11)

整理可得

(12)

(13)

由式(12)、(13)可得小球a的切向加速度

(14)

代入数据得

(15)

作图：

图7 f(x)图像3

4.2.2 向心加速度定量分析

由式(8)可知

(16)

代入数据得

an=10(sinθ+cosθ-1)=

(17)

作图如图8所示.

图8 f(x)图像4

4.2.3 小球合加速度定量分析

任意时刻小球a的合加速度为

(18)

代入数据得

aa合=

(19)

令

(20)

即

2(sinθ+cosθ-1)(cosθ-sinθ)=0

(21)

整理可得

(22)

(23)

(24)

式(23)可得

tanθ1=1

(25)

式(24)可得

(26)

(27)

即

(28)

(29)

因此可得结论.

(30)

(31)

(32)

作小球a的合加速度图,如图9所示.

图9 小球a的合加速度图像

图10 图9的精细放大图

利用“仿真物理实验”输出加速度的大小随时间变化的图像,如图11所示.

图11 |a|-t图

理论与实验很吻合.

4.3 轻杆受作用力定量分析

如图12所示，小球a切线方向动力学方程为

mgcosθ-Fcos 45°=maa

(33)

由式(14)、(33)整理可得

(34)

代入数据得

(35)

图12 小球运动及受力情况

作图如图13所示.

图13 f(x)图像5

实际上小球b的速度、动能、加速度、轻杆对其作用力变化规律与小球a一模一样.

5 结束语

杆、环共同约束下小球的运动对高中物理来说较难分析其运动规律，笔者认为，如果教师能够钻研该运动模型，熟知其中的理论力学规律，在高中物理知识能够处理的范围内带着规律结果对学生进行定性和适当定量计算方面的指导，培养学生的定性分析能力和逻辑推理能力，对于提高高效物理课堂教学是行之有效的；当然，有兴趣的读者也可以设两小球的质量不相等，释放点也可以从圆环最高点或其他位置释放，杆的长度可以调节等角度去研究，相信可以得到很多有意思的规律.