基于改进欧拉公式的非等间距GM（1，1）模型再优化

陈静 陈友军

摘要：提出基于改进欧拉公式优化非等间距GM（1，1）模型的新方法，在已有的非等间距GM（1，1）模型转换为等间距GM（1，1）模型的方法基础上，根据白化方程的时间响应函数满足非齐次指数形式，结合改进欧拉公式推导出模型的参数表达式，直接建立一个新的优化模型.该方法不仅适用于非等间距GM（1，1）模型建模，也适用于等间距GM（1，1）模型建模.应用实例表明文章所提方法在预测精度和实用性上有显著提高.

关键词：非等间距； 模型优化； 参数； 改进欧拉公式

中图分类号：TP311 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2018）32-0187-04

Abstract： A new method for optimizing thenon-equidistantGM（1，1） model based on the improved Euler formula is proposed.The method basis for transforming the existing non-equidistant GM（1，1） model into an equidistant GM（1，1） model is proposed.According to the time response function of the whitening equation， the non-homogeneous exponential form is satisfied， and the improved Euler formula is used to derive the parameter expression of the model， and a new optimization model is directly established. This method is not only applicable to non-equidistant GM （1，1） model but also applicable to equidistant GM （1，1） model modeling. The application examples show that the proposed method has significantly improved prediction accuracy and practicability.

Key words：non-equidistant；model optimization；parameter；improved Euler formula

灰色系统理论中的GM（1，1）模型作为理论的基础与核心，因其“小样本”“贫信息”建模过程简单等优点，已被广泛应用于农业、经济、工业和工程技术等领域[1]。灰色系统模型大部分是在等间距序列基础上建立的，但是在实际生活中常常会遇到非等间距序列的数据，因此，提高非等间距GM（1，1）模型的预测精度及其适应性，具有非常重要的现实意义。模型的精度是建模的关键，对于非等间距GM（1，1）模型的改进问题，许多学者提出了很多方法来提高建模精度，例如重构背景值[2-8][17]、优化初始条件[9-10]、优化灰导数[11]、对模型的参数进行估计[12]、優化灰色微分方程[13]等。文献[2-3]与文献[8]是利用非等间距GM（1，1）模型的1-AGO满足或近似满足指数函数规律优化其背景值，文献[4]在非等间距的序列中提出用积分重构GM（1，1）模型的背景值，文献[5-7]通过用[x1t]在区间[ki，ki+1]上的中点值和数值计算中的插值公式以及对1-AGO进行开方运算后再用背景值替换中心值的方法重构背景值；文献[9-10]分别采用原始数据的第n个分量作为灰色微分方程的初始条件和以非等间距一阶累加生成序列各分量作为优化的初始值来建立优化模型；文献[11]利用前向差商和后向差商的加权平均值代替灰导数；文献[12]用欧拉法直接估计参数来优化非等间距GM（1，1）模型。以上文献的研究为灰色GM（1，1）模型预测提供了许多有利途径，但在模型的精度和实用性上仍然有很大的改进空间。

本文在文献[12]的研究基础上，根据时间响应函数满足非齐次指数特征提出基于改进欧拉公式的参数表达式进而直接建立GM（1，1）模型，不仅减小了计算难度，同时不需要构造背景值。简化了算法并且扩大了该方法的适用范围，可用于等间距和非等间距的建模。实例表明了本文所提方法的有效性。

1 灰色模型的建模机理

1.1 改进非等间距GM（1，1）模型的建模机理[14]

从表4可以看出，使用本文所推导出的参数表达式建立等间距GM（1，1）模型，与文献[17]的所建立的模型结果进行比较，文献[17]模拟精度的平均相对误差为1.339%，本文方法的平均相对误差为0.3157%，可见优化模型的模拟精度得到显著提高.

4 结束语

为了提高GM（1，1）模型的预测精度，本文提出在已有方法将非等间距序列进行转换等间距序列的基础上，结合GM（1，1）模型的时间响应函数的非齐次指数特征，用改进欧拉公式推导参数[a，b]的表达式直接建模.应用实例的结果证明了改进后的模型无论是非等间距模型还是等间距模型，拟合精度均得到显著提高，使得该方法在实际的应用中具有重要的现实意义。

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