重“阅读能力”，重“概念理解”

刘护灵

概率与统计在高中数学中具有独立性，由于和实际生活联系紧密，同时又是大学统计学的基础，起着承上启下的作用，现已成为高考持续的热点.2018 年高考数学全国I卷试题难度适中、稳中求變、导向明确，体现了基础性、综合性、应用性和创新性，其中概率统计题在理科试卷中仍是以一道小题（选择题第3题）加一道大题（解答题第20题），所占分值仍然是5+12=17分，值得注意的是，和历届高考试题不同，今年概率统计大题放在了大题中的第四道（排在了解析几何大题后面），意味着难度有了一定的增加.

一、原题呈现

例题.（12分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为p（0

（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），求f（p）的最大值点p0.

（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.

（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；

（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

二、第一问的分析与解

拿到试卷看到试题的第一印象是，题目文字很多，这是近几年高考数学试题的特点.需要同学们静心阅读文字材料，看懂每一个条件的意义和作用.

（1）第一句是大前提：“某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.”

（2）第二句指明了检验的方法：“检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为p（0

前面两句话正是统计在生活中的典型应用——抽样检验，而不是全部每一件都检验.

第一问“记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），求f（p）的最大值点p0”.

问题1：什么叫“20件产品中恰有2件不合格品”？

问题2：若改为“20件产品中恰有3件不合格品”，又怎么求？

问题3：还可以怎么问？如改为“20件产品中至多有2件不合格品”？或者“20件产品中至少有2件不合格品”？

综合以上问题，这里考察的是：n次独立重复实验中，恰好发生k次的概率.

基础知识复习链接：

1. 独立重复试验的定义：

指在同样条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验

2. 独立重复试验的概率公式：

一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率Pn（k）=[Ck][n] P k（1-P）n-k.

它是[（1-P）+P]n展开式的第k+1项.

三、第二问的分析与解

由（1）知，p=0.1.

第二问有两个小问，第（i）个小问求：若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX.

这道题目的难点在于，赔偿费用的和X并不是一个直接的随机变量！“赔偿费用”是和“余下的180件产品中的不合格品件数”密切相关的.

所以，必须设一个新元，例如设Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B（180，0.1），

而X=20×2+25Y，即X=40+25Y.

所以EX=E（40+25Y）=40+25EY=490.

（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.

由于EX>400，故应该对余下的产品作检验.

反思3：在学习概率统计时，要理解概念，掌握课本中关于以下方面的基础知识：

①什么叫“一次试验”“一次试验结果具有什么特征”？

②依托具体情境领悟“等可能”“互斥（对立）”“独立”关系.

③能将复杂事件分解为“互斥和”“独立积”.

④分布列性质（非负、和为1），期望公式，方差公式.

⑤二项分布、几何分布及正态分布.

⑥频率分布条形图和直方图及应用.

⑦抽样方法和线性回归.

反思4：回顾本题的解决过程，实际上是考察学生对问题题意的正确理解，对基本概念的真正掌握（例如什么是“独立重复实验”，等等）.《普通高中数学课程标准》指出：“数学教学中应强调对基本概念和基本思想的理解和掌握， 对一些核心的概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终， 帮助学生逐步理解.由于数学高度抽象的特点， 注意体现基本概念的来龙去脉.在教学中要引导学生经历具体实例抽象数学概念的过程， 在初步运用中逐步理解概念的本质”. 数学概念内涵与外延的理解需要通过解题来完成， 解题之后留给学生的应是概念而不是题.

反思5：要重视培养数学的阅读能力.华南师范大学数学系刘秀湘教授在评述2017 年全国卷试题时，认为2017年数学卷加强了数学阅读与表达能力， 学生的答卷反映出“ 哪里不会考哪里！”， 特别是2017年理科第 19 题的解答非常不理想. 实际上，2018年的理科概率题一样对考生阅读题意的能力要求很高.从实际教学来看， 中学数学教学对数学语言的表达、数学符号书写的规范性强调较多， 但对数学的阅读强调不足.

责任编辑 徐国坚