例谈平面直角坐标系下图形变换和点坐标的确定

徐 臻

（常州市新北区实验中学，江苏 常州）

从近几年考题来看，在平面直角坐标系的背景下，经常有几何图形的变换，例如翻折、旋转、平移。点坐标的确定就成为一个重要的考点，在解题过程中，首先要充分认识图形变换前后之间的关系，特别是线段之间的数量和位置关系，在旋转变换背景下还要充分考虑特殊的旋转角对于旋转之后图形的位置影响。其次还需要准确地把握坐标的确定方法。有时候，需要过所求点向坐标轴作辅助线（垂线），去构造直角三角形，然后利用边角的条件求出垂线段的长度。再由垂线段过渡到点的坐标过程中，有时还要考虑点的位置。值得注意的是要正确判断坐标的符号。举个例子，坐标系中的变换问题往往隐含着一些特殊角的条件，比如点，这样的描述中就隐含着60°的角，因此，在分析图形特征时，要格外留意是否题目中存在类似的关键的且不容易被发现的一些潜在条件。由此可见，处理这类问题时要把握变换的性质以及确定坐标的方法，特别是确定点坐标，构造垂线段，形成直角三角形，进而求解，这是一种典型的确定点坐标的好方法，可供学习者熟练掌握。下面我将分别列举两个平面直角坐标系下图形在翻折和旋转过程中求点坐标的例题。

背景一：如图1，在直角坐标系xOy中，梯形OABC的顶点A、C分别在坐标轴上，且AB∥OC，将梯形OABC沿OB对折，点A 恰好落在BC边的点A1处，已知OA=，AB=1。求：（1）∠AOB的度数；（2）点 A1的坐标。

图1

点评：学生在阅读题目，首先分析这是一道在平面直角坐标系下的翻折问题，那就要注意对称性问题。第一问求∠AOB的度数，先考虑特殊角，特殊角经常从直角三角形中来，那我们先观察∠AOB所属的三角形是否为直角三角形。从AB∥DC，可以得出∠BAO=∠AOC=90°。因为OA=，AB=1，所以 OB=2，所以∠AOB=30°。

在解决第二个问题时我们不难发现，对称这个条件还未使用，△AOB 和△A1OB 全等，那么∠A1OA=60°，那么∠A1OC=30°。当看到30°的角，进而思考下能否在一个直角三角形中，此刻作A1M垂直于OC，要求A1的坐标，横坐标就是A1M，纵坐标就是OM。OA=OA1=。在直角三角形A1MO中，A1M=以A1的坐标就是

背景二：如图2，菱形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，∠B=120°，OA=2，将菱形OABC绕原点顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置，则点B′的坐标为 （ ）

图2

点评：这是一题在平面直角坐标系下图形旋转下求点的坐标，抓住特殊角度想办法构造直角三角形。连接OB，OB′，过点B′作B′E⊥x轴于 E，根据题意得：∠BOB′=105°，因为四边形 OABC 是菱形，所以OA=AB。∠AOB相当于∠AOC的一半，同时也相当于∠ABC的一半，△AOB是等边三角形，所以OB=OA=2，所以∠AOB′等于∠BOB′减去∠AOB，就等于 45°，OB′=OB=2，所以OE=B′E=OB′sin45°=。所以B′的坐标就是（2，

通过这两题的比较，我们不难发现，在平面直角坐标系下根据图形的变换求点的坐标，构造特殊三角形，在三角形里通过计算线段的长度，从而计算点坐标是大体思路。但面对不同的图形变换，我们也有需要注意的地方，对于旋转变换的问题，我们要注意旋转角问题。对于三角形和四边形的旋转，在进行角度计算的时候，我们需要关注原来角度的条件。因为在旋转过程中，非常容易出现等腰三角形、等边三角形或者直角三角形。因而在图形变换下求点坐标，我们需要考虑特殊图形对于角度的制约作用，比如，如果一条线段绕一个端点旋转60°就可以形成等边三角形，如果旋转90°就会变成等腰直角三角形。当然我们也需要非常熟悉45°和60°两块特殊三角板边与角之间的关系。面对图形变换中折叠求点坐标问题，我们需要考虑轴对称，把对应关系搞清楚，然后分析图形中出现的特殊三角形，在接下来的计算中，我们经常会借助方程思想，通过勾股定理得出结论。