智能汽车横向轨迹跟踪的离散时间模型预测控制

高洪波 李升波 谢国涛 成波

控制技术是智能车辆研究的关键技术之一.车辆模型是一个非线性的复杂的时变系统,使得车辆的控制变得异常复杂与困难.智能车辆的控制技术主要目标是提高控制的自适性、精度与鲁棒性.控制技术及理论研究主要包括横向运动跟踪控制与纵向运动跟踪控制及综合跟踪控制.

横向运动控制方法主要包括分阶控制[1]、PID控制[2]、模糊自适应控制[3]和神经网络自适应控制[4]等.纵向运动控制方法主要包括参考模型自适应控制[5]、模糊自适应控制[6]、神经网络自适应控制[7]和进化算法自适应控制[8]等. 综合跟踪控制主要包括基于“预瞄— 跟随”的控制模型控制[9]、基于视觉引导的最优控制[10]、基于视觉引导的模糊控制[11]、基于视觉引导的滑模变结构控制[12]、Backstepping控制[13]、非奇异终端滑模控制[14]、多模型分层切换控制[15]、自适应PID控制等.

用于智能车辆的控制方法有道路导航和区域导航控制、基于驾驶员行为模型的控制、基于导航器输出规划路径和低层控制器输出速度命令的控制、非线性PID纵向控制与线性的PI横向控制.自2009年至2017举办的中国“智能车未来挑战赛”中,智能车辆在纵向速度控制方面,表现为速度控制精度低.在横向方向控制方面,表现为控制算法简单,自适应性差,鲁棒性差[16−17].

节1介绍车辆运动学建模,节2介绍横向预测控制系统,重点包括离散线性误差模型建模、横向预测控制系统目标函数设计、横向预测控制系统约束条件设计;节3介绍横向控制预测优化问题设计及其参数选取;节4介绍横向控制仿真实验、结果分析与目标算法的对比;节5总结了全文.

1 车辆运动学建模

智能车辆运动相对于道路环境随着时间的改变,车辆的速度、方向与位置也同时发生改变.由于智能车辆相对于道路环境运动的动力学过程非常复杂,在实际的道路环境中,过于复杂的车辆动力学模型达不到预期的控制目标,需要对其进行约束、简化与近似,建立能够尽量准确反映车辆运动特性、简化、高效的运动控制方程,以达到预期的控制目标.因此,在良好路面的行驶工况下,一般不需要考虑车辆动力学问题,基于运动学模型的横向控制便能够达到预期控制的性能与目标.

图1所示为车辆的运动学模型示意图,在相对于道路环境的大地惯性坐标系XOY下,(xf,yf)为车辆的前轴轴心坐标,(xr,yr)为车辆的后轴轴心坐标,vf为车辆的前轴中心速度,代表前轮的速度,vr为车辆的后轴中心速度,代表后轮的速度,ϕ为车辆的航向角(即车辆的横摆角),δ为车辆的前轮转向角,l为车辆的轴距长度,其中,lf为车辆前轴中心距车辆质心的长度,lr为车辆后轴中心距车辆质心的长度.

如图1所示,为车辆转向过程示意图,C为车辆的瞬时转动中心,r为车辆转向时的后轴中心点的转弯半径,A为车辆的后轴轴心,B为车辆的前轴轴心.假设车辆在转向过程中车辆的车轮无滑动现象且车辆质心侧偏角保持不变[18],即车辆瞬时转向半径与道路曲率半径相同.如图1所示,可得车辆前轴轴心点的坐标与车辆后轴轴心点的坐标关系,如式(1)所示.

车辆在转向过程中,假设车辆质心侧偏角保持不变并且车轮无滑动现象[16],则可得车辆前后轮轨迹在垂直方向上的速度为0,进而可以得到车辆前轴与后轴的运动学约束,如式(2)所示.

如图1所示,根据式(1)与式(2)可得车辆后轴轴心点的坐标与速度的关系,如式(3)所示.

如图1所示,可得车辆后轴轴心点的速度vr、车辆的横摆角速度ω与车辆的转向半径r的关系,如式(4)所示.

如图1所示,可得车辆轴距的长度l、车辆的转向半径r与车辆的前轮转向角δ的关系,如式(5)所示.

将式(4)与式(5)进行联合求解,可得到车辆的横摆角速度,如式(6)所示.

式(6)中,ω为车辆的横摆角速度,它与车辆的航向角ϕ的关系如式(7)所示.

联合式(3)与式(5),可得到车辆的运动学模型,如式(8)所示.

式(8)中,vr与δ为车辆运动的输入控制量,(xr,yr)与ϕ为车辆运动的输出状态量.

2 横向预测控制系统

如图2所示,k表示当前时刻,(k+i|k)表示以k时刻信息对k+i时刻的预测,u代表横向预测控制系统的控制输入,y代表横向预测控制系统的输出,rh代表二次规划轨迹,即参考轨迹.基于车辆运动学的离散线性误差模型的横向预测控制器包括:控制器、被控平台.被控平台是智能车辆,控制器包括基于车辆运动学的离散线性误差模型、目标函数和系统约束条件.

2.1 离散线性误差模型建模

根据节1,在相对于道路环境的大地惯性坐标系XOY下,车辆运动学模型如式(9)所示.

车辆运动学模型中,车辆的输入控制量为u(vr,δ),车辆的状态量为Φ(xr,yr,ϕ).车辆的控制系统表达成状态空间方程形式,如式(10)所示.

式 (10)中,φ=[xr,yr,ϕ]T,u=[vr,δ]T.

根据图2所示,基于离散线性误差模型的横向预测控制器的二次规划轨迹上的每一个点都满足车辆的运动学模型,因此,基于车辆运动学模型的二次规划轨迹状态空间方程表达式如式(11)所示.(注:用ref代表二次规划轨迹).

式 (11)中,φref=[xref,yref,ϕref]T,uref=[vref,δref]T.其中,(xref,yref)为二次规划轨迹上目标坐标,ϕref为二次规划轨迹上目标的航向角,vref为二次规划轨迹上目标所需的速度,δref为二次规划轨迹上目标所需的车辆前轮转角.

式(9)是一个非线性系统,需要将非线性系统转化为线性系统进行预测控制,将式(10)在二次规划轨迹点上进行泰勒展开,对非线性系统进行近似化处理为线性系统.根据二次规划轨迹上每个周期的状态量与控制量,通过预测输出轨迹与二次规划轨迹之间的误差设计预测控制器来跟踪二次规划轨迹,将式(10)在二次规划轨迹式(11)处进行泰勒展开,只保留一阶项,忽略高阶项,如式(12)所示.

将式(12)减去式(11),得到线性误差模型,如式(13)所示.

将线性误差模型式(13)表达成状态空间方程形式,如式(14)所示.

式(14)为线性误差模型状态空间表示形式,为了让其应用于模型预测控制器中,需要对其进行离散化处理,离散化的方法如式(19)所示.

式(19)中,I为单位矩阵,T为采样周期,为100ms.根据式(14)与式(19),得到线性时变误差模型离散化的状态空间方程,如式(20)所示.

式(20)中,At,k与Bt,k分别如式(21)与式(22)所示.

式(20)中,在每一个控制周期内,实际输出坐标与航向角是可以通过车载传感器获得,而需要求解的是每一个控制周期的控制输入即车辆的后轴中心速度vr、车辆的前轮转向角δ.

2.2 横向预测控制系统目标函数设计

在智能车辆行驶过程中,智能车辆的控制输入通过求解获得,根据横向控制的要求设定符合目标的目标函数,并对其进行优化求解,得到智能车辆的控制输入,目标函数一是保证智能车辆对二次规划轨迹的跟踪能力,二是保证智能车辆的控制输入在控制约束的范围内,根据文献[16],智能车辆的优化目标函数如式(23)所示.

式(23)中,Q与R为智能车辆横向预测控制系统的权重矩阵.T(k+i)Q(k+i)反映了智能车辆横向预测控制系统对二次规划轨迹的跟踪能力,T(k+i−1)R(k+i−1)反映了智能车辆横向预测控制系统对输入控制量变化的约束.该目标函数的优点是:容易转化为标准的二次规划形式的问题进行求解,结构简单,易于实现.但存在的缺点为:无法对每一个控制周期内的控制增量进行约束,也就是无法避免智能车辆控制输入量突变的现象,达不到乘坐舒适性的目的.

为了达到乘坐舒适性的目的以及约束控制变量突变情况的发生,需要对目标函数进行转化,转化成对目标函数中控制增量的约束,以达到求解控制增量的目的.首先,需要对智能车辆离散线性误差模型的状态空间方程进行转化.

根据式(24),将式(20)转化为式(25)所示的形式.

式(25)中,x(k)为预测时域内的状态量,Ct,k如式(26)所示,Dt,k如式(27)所示.

式(25)中,Ct,k与Dt,k分别通过式(26)∼式(27)给出.m=2,n=3,Im是2维的单位矩阵.其系统输出如式(28)所示.

式(28)中,y(k)为预测时域内的系统输出,Ft,k如式(29)所示,为5×5的单位矩阵.

为了简化计算,假设Ct,k=Ck,Dt,k=Dk,Ft,k=Fk,t=1,2,···,k+N− 1.

智能车辆的控制时域为Nc,预测时域为Np,预测时域内的每一时刻的状态量如式(30)所示.

根据式(30)所示,将预测时域内的上一时刻状态量作为下一时刻的输入量,可以得到预测时域内总的状态量与系统总的输出量的计算公式分别如式(31)与式(32)所示.

如式(31)所示,智能车辆在预测时域内的下一时刻的状态量都可以通过当前时刻的状态向量x(t)与控制时域内的控制增量的向量∆u求得.在预测时域内的系统输出可以通过式(32)由当前时刻的状态量向量x(t)与控制时域内的控制增量的向量∆u求得.便将离散线性误差模型的横向预测控制输入由控制量转化为控制增量.将离散线性误差模型的横向预测控制的目标函数由式(23)转化为式(33)所示形式.

式 (33)中,ky(k+i)−yref(k+i)k2Q反映了横向预测控制系统对二次规划轨迹的跟踪能力,k∆u(k+i)k2R反映了乘坐舒适性目的的要求,也是防止控制输入量突变的现象的保证.Nc为控制时域,Np为预测时域,Q与R为横向预测控制系统的权重矩阵.由于离散线性误差模型的横向预测控制系统是一个实时变化的系统,在控制周期内,可能出现的目标函数在约束范围内没有可行解,所以,对式(37)进行相应的处理,根据文献[16]的方法,对离散线性误差模型的横向预测控制系统的目标函数加入软约束的方法,以提高式(33)的求解能力.式(33)转化为式(34)的形式.

式(34)中,ρ为权重系数,ε为松驰因子.至此,智能车辆基于运动学的离散线性误差模型的横向预测控制系统的目标函数设计完成.

2.3 横向预测控制系统约束条件设计

为保证系统对二次规划轨迹的跟踪能力与乘坐舒适性的目的,根据式(34),需要对输出量、控制量与控制增量进行约束.约束条件表达式分别如式(35)∼式(37)所示.

式(35)中,y(k+i)表示对智能车辆运动学的离散线性误差模型横向预测控制输出坐标、航向角的约束,式(36)表示智能车辆运动学的离散线性误差模型横向预测控制的输入量约束,包括车辆后轴中心速度vr与车辆前轮转角δ的约束,式(37)中,∆u(k+i)表示对控制输入增量车辆后轴中心速度增量∆vr与车辆前轮转角增量∆δ的约束.式(35)∼式(37),就构成了一个完整的基于运动学的离散线性误差模型的横向预测控制约束条件表达式.

3 预测优化问题设计及其参数选取

3.1 预测优化问题设计及其参数选取

综合节2,横向预测控制的预测优化问题是以式(34)为目标函数,以式(35)与式(36)为系统输入约束式,以式(37)为系统输出约束式,且符合车辆运动学的离散线性状态空间方程式(25)与式(28)的最优化问题,即:

式(38)所示的预测优化问题,其参数可分为3部分:1)智能车辆横向预测控制系统离散状态空间方程的参数;2)代价函数的参数;3)约束条件的参数.

横向预测控制系统离散状态空间方程的参数有采样时间为100ms,如表1所示.

表1 横向预测控制系统离散状态空间方程参数

代价函数的参数有代价函数的权系数、预测时域长度Np以及控制时域长度Nc.代价函数的权系数根据横向预测控制的要求,通过对实车试验测试获得.本文设置代价函数的权重系数如表2所示.预测时域长度的设置与横向预测控制系统的计算效率和控制效果相关,通过实车试验测试获得.

表2 横向预测控制器代价函数的参数列表

除了上述两部分参数外:1)智能车辆横向预测控制系统离散状态空间方程的参数;2)代价函数的参数;还需要对智能车辆输入约束进行验证,以保证智能车辆行驶过程中转向的可执行性.分别对智能车辆实车方向盘向左转向到极限状态与向右转向到极限状态进行试验,分别记录方向盘的角度与对应车辆前轮转向角的角度.测试结果如表3所示.

表3 智能车辆横向跟踪能力测试

通过实际测试,为了达到转向约束的可执行最小粒度,在本文中,智能车辆每一个控制周期内的前轮转角的可约束控制范围为δ∈[−25◦,25◦],单位为度(◦),每一个控制周期内前轮转角的增量可控制范围为∆δ∈[−0.45◦,0.45◦],单位为度 (◦).

3.2 横向控制律

基于车辆运动学的离散线性误差模型的横向预测控制的基本原理是:通过最小化代价函数J(y,u,|u),求解最优控制增量u∗(k+i|k),即前轮转角增量∆δ,且满足横向预测控制系统的约束条件和系统离散状态空间方程;利用u∗(k+i|k)的首元素进行反馈,实现横向预测控制系统的闭环控制.

横向控制律如式(39)所示.

式(39)中,u∗(k)是第k步的最优控制输入,u(k-1)为第k-1步的控制输入,u∗(k+0|k)为最优控制增量的首元素.最优控制增量u∗(k+i|k)是预测优化问题的最优解.如式(40)所示.

Subj.to:

1)横向预测控制系统离散状态空间方程:式(25)和式(28)

2)横向预测控制系统的I/O约束:式(35)、式(36)和式(37).

该控制律通过最小化代价函数J(y,u,∆u)实现轨迹跟踪横向误差的优化控制,通过约束不等式限制横向预测控制系统的控制输入和系统输出,满足横向预测控制的跟踪性、稳定性与安全性要求,达到跟踪性和乘坐舒适性的多目标协调控制的目的.横向控制律式(40)中,控制输入是前轮转角增量∆δ.

4 横向控制仿真实验及结果分析

4.1 仿真模型建立

为了验证所设计的横向预测控制器,在相同轨迹下对不同速度的跟踪能力进行仿真测试.选取圆形轨迹进行跟踪.圆形参考轨迹以参数方程的形式给出,如式(41)所示.

式(41)中,δ为车辆的期望前轮转角,ϕt为车辆的航向角,v为车辆的目标跟踪速度.仿真过程中,v分别为8m/s,10m/s和12m/s,δ设定为5.03deg,l设定为2640mm,设置初始时刻t0=0,终点时刻tfinal=30s,初始状态设置为x0=x(t0)=0,y0=y(t0)=0,ϕ0=ϕ(t0)=0.基本参数设置为:控制周期为0.1s,预测时域Np=10,控制时域Nc=5.图3为圆形参考轨迹的Carsim/Simulink联合仿真平台的建立.

4.2 仿真结果及分析

仿真结果分别如图4∼图6所示.其中,图4为在不同速度下圆形轨迹跟踪结果,所设计的预测控制器能快速跟踪期望轨迹,系统跟踪误差最终收敛为0.不同速度行驶的车辆都具备良好的轨迹跟踪性,体现出对速度很强的抗干扰能力.图5为在不同速度下轨迹跟踪误差,误差的平均值保持在0cm∼20cm范围内,总体具有良好的全局稳定性.图6为前轮转角随时间变化的轨迹跟踪曲线,稳定情况下,前轮转角基本为恒定值,转角误差最终收敛为0,达到航向角误差保持在0◦∼1.03◦范围内,但随着目标速度的增大,前轮转角误差随速度的增大而增大,但都在控制器所给出的控制量设定的范围内,控制器不仅实现了快速跟踪期望轨迹,也保证了跟踪过程的平稳性.

4.3 算法对比分析

对比于文献[19−20]中的方法,以圆形为参考轨迹,如图7∼图9所示.图7表示圆形轨迹跟踪示意图,图8表示速度跟踪曲线图,图9表示前轮转角跟踪曲线图.实验结果表明,本文所提的算法控制效果优于预瞄跟踪最优控制算法,预瞄跟踪最优控制算法在跟踪过程中,达到所需的稳定时间相比本文的提出的算法时间长,误差大,稳定性差.

5 结论

本文首先介绍车辆二自由度运动学模型,分析车辆横向运动.将车辆的横向运动转化为横向控制,用状态空间进行描述,基于二次规划轨迹建立横向预测控制线性误差模型并进行离散化处理.并设计了基于车辆运动学的离散线性误差模型的横向预测控制器,进行仿真验证与分析,所设计的控制器对相同轨迹不同速度具有高的准确性、强的鲁棒性和强的自适应性.达到了横向预测控制的目标要求,提高了控制系统的动态特性,并具备一定的抗干扰能力.