基于CKF的再入段弹道目标质阻比估计*

赵崇丞，王 君，陈德江

（空军工程大学防空反导学院，西安 710051）

0 引言

质阻比是弹道目标质量和外形的组合参数[1]，是再入段弹道目标主要识别特征。弹道目标在再入段飞行时，除了真弹头，还伴有重诱饵。真弹头和重诱饵的质阻比不同，而且真弹头的质阻比大于重诱饵的质阻比[2]。在反导作战中，对质阻比的估计精度及质阻比收敛速度关系到目标识别的快慢及准确度，在很大程度上决定着反导作战能否成功。

对质阻比的估计方法主要有两种：1）利用非线性滤波实时估计弹道目标距离、速度、加速度，然后利用质阻比计算公式算出弹道目标质阻比[3]，此方法由于采用CA模型作为再入运动模型，估计精度较差。2）基于弹道目标再入运动规律，将质阻比增广为弹道目标状态向量中的一个元素，利用非线性滤波实时估计质阻比，这种方法由于将质阻比与弹道目标运动规律紧密结合，估计精度较高。

弹道目标进入再入段后，其状态方程和量测方程均是非线性的，利用滤波器实时估计弹道目标质阻比需用到非线性滤波。扩展卡尔曼滤波是非线性滤波算法中的一种典型算法，因其计算量小，被广泛应用于雷达、通信、控制等领域。文献[4]利用扩展卡尔曼滤波将质阻比增广到弹道目标状态向量中，对其进行实时估计，但是由于利用扩展卡尔曼滤波需要用到雅克比矩阵，状态向量维数过多时实现困难[5]，导致质阻比估计精度不够，收敛速度也慢。为了改善估计精度，并提高质阻比收敛速度，本文利用容积卡尔曼滤波对质阻比进行实时估计，容积卡尔曼滤波是一种基于三阶球面-相径容积规则来近似非线性函数传递的后验均值和方差[6]的滤波方法，无需对非线性问题进行线性化，在状态向量维数较多的时候计算量小于扩展卡尔曼滤波。仿真结果表明，基于容积卡尔曼滤波的质阻比估计无论在精度还是质阻比收敛速度上都优于利用扩展卡尔曼滤波的估计算法。该方法对于反导作战目标识别具有指导意义。

1 质阻比

质阻比，又叫弹道系数，是弹头质量和外形的组合参数，是一个用来衡量弹头克服空气阻力、维持飞行速度能力的数学特征[7]。其数学表达式为：

式中，m为弹头质量，单位是kg，CD为空气阻力系数（无量纲），S为再入弹头横截面积，单位是m2。

由于大气的烧蚀作用，弹道目标进入再入段后，只剩下真弹头和重诱饵。真弹头的质阻比大于重诱饵的质阻比，可据此对再入段弹道目标进行识别。表1列出了各类弹道目标的质阻比。

表1 各类弹道目标质阻比

2 再入弹道目标状态方程及量测方程

2.1 状态方程

弹道目标在再入段飞行时，除了受到重力，还受空气阻力作用。由于再入段弹道目标飞行时间短，可忽略地球自转[8-10]。对再入弹道目标建模如图1所示。其受到的空气阻力Fd与速度方向相反，重力Fg方向指向地心。

图1 再入弹道目标运动模型

在雷达站ENU坐标系下对弹道目标的运动状态进行描述，设弹道目标在t时刻的运动状态为，目标与地心之间的距离为，Re=6 371.11 km为地球平均半径，t时刻目标的速度为，则弹道目标的状态方程可表示为：

式中，ρ0为海平面大气密度，h为目标所在高度，表示大气标高。

为了对质阻比进行实时估计，可将质阻比增广到状态向量X（t）中。同时，为保证质阻比的非负性，以防滤波发散，可将质阻比β表示为

式中，β0为弹道目标质阻比滤波初值，具体数值可根据经验选定[9]，q（t）的变化率q˙（t）表示高斯白噪声。则增广后的弹道目标状态向量为，相应的状态方程为

2.2 量测方程

通常在雷达站极坐标系下描述再入弹道目标的量测方程，量测值包括弹道目标到雷达的径向距离r，弹道目标方位角ε，高低角β。由雷达站ENU坐标系与雷达站极坐标系间转换关系得再入弹道目标量测方程为

式中，w（t）为量测噪声矩阵。

3 容积卡尔曼滤波（CKF）

容积卡尔曼滤波是由Arasaratnam和Haykin提出的基于容积变换的滤波方法，该方法充分利用球面-相径容积规则选取容积点[12]，然后利用动态模型进行容积点非线性变换产生新的容积点，再对新容积点进行加权处理来近似非线性函数传递的后验状态估计均值及协方差矩阵[13]。

设k时刻弹道目标状态为xk，且，则CKF具体滤波步骤如下：

1）滤波初始化

2）计算容积点

[1]i为完整全对称点集的第 i个点[15]。

3）根据动态模型进行容积点非线性变换，即

4）计算状态预测均值和预测协方差

5）计算更新后的容积点

6）根据量测模型进行容积点非线性变换，即

7）计算量测预测均值、新息协方差、状态与量测间的互协方差和滤波增益

8）计算k+1时刻后验状态估计均值和协方差矩阵

4 仿真分析

分别利用扩展卡尔曼滤波和容积卡尔曼滤波对3个弹道目标的质阻比进行估计，3个弹道目标中有一枚真弹头，两个重诱饵。每个目标均设定3个质阻比初始值 β01=8 000 kg/m2，β02=6 000 kg/m2，β03=3 000 kg/m2。第1个目标的状态初值为X（0）=（-28.5 km，0.44 km/s，-128.8 km，1.99 km/s，148.4 km，-2.12 km/s）T，第 2 个目标的状态初值为 X（0）=（-23.4 km，0.41 km/s，-145.5 km，1.95 km/s，156.5 km，-2.07 km/s）T，第 3 个目标的状态初值为 X（0）=（-24.6 km，0.42 km/s，-125.4 km，1.97 km/s，150.9 km，-2.1 km/s）T。雷达扫描周期为6 s，测距精度为150 m，测角精度为0.5°（包括高低角和方位角）。取目标状态的第7维为q，且q˙为高斯白噪声，其方差为。蒙特卡洛仿真50次，分别利用扩展卡尔曼滤波和容积卡尔曼滤波得出每个目标质阻比估计值随高度的变化图。

由下页图2～图4可以看出，对每个目标，无论质阻比滤波初值为多少，质阻比估计值最终都会收敛到真实质阻比值，且目标1的质阻比值最终收敛到7 000 kg/m2，目标2的质阻比值最终收敛到4 000 kg/m2，目标3的质阻比值最终收敛到5 000 kg/m2，而且基于CKF的质阻比估计收敛速度及估计精度均高于基于EKF的质阻比估计，收敛速度提前了大约一个雷达扫描周期6 s。由于目标1、目标2、目标3质阻比值最终分别收敛到7 000 kg/m2、4 000 kg/m2、5 000 kg/m2，可以判定目标1为真弹头，目标2及目标3为重诱饵。

图2 目标1质阻比估计随高度变化图

图3 目标2质阻比估计随高度变化图

图4 目标3质阻比估计随高度变化图

综上：就滤波方法对再入弹道目标进行实时估计，容积卡尔曼滤波无论是在质阻比估计精度还是在质阻比收敛速度上均优于扩展卡尔曼滤波。

5 结论

本文提出了一种利用容积卡尔曼滤波（CKF）对再入弹道目标进行质阻比估计的方法，并进行了仿真实验。通过对基于容积卡尔曼滤波（CKF）的质阻比估计与基于扩展卡尔曼滤波（CKF）的质阻比估计进行仿真比较，得出容积卡尔曼滤波对质阻比进行估计在收敛速度及估计精度上都强于扩展卡尔曼滤波，对再入弹道目标识别有一定促进作用，适于工程运用。