论导数在高中数学解题中的使用

王玉珏

摘要：导数是高中数学的重要知识内容之一，属于微积分初步知识。近年来，高考内容中导数相关知识所占的比重越来越大，已经逐渐成为各地高考的热点内容。在高中数学中，导数与几何知识、数列、不等式、函数等均有关联，在高中数学解题中发挥着重要作用，本文主要对导数在高中数学解题中的运用进行简要阐述。

关键词：高中数学；导数；解题；使用

导数知识是历年高考中的关键内容，在整个高中数学学习中都起到显著作用，在高中知识考查中，导数经常和不等式、几何、数列及函数等知识联合起来考查，这就着重培养了学生的综合运用能力及数学思维能力，对提高我们的数学解题能力来说意义重大。

一、导数在函数解题中的使用

函数是高中数学知识中的重点内容，运用导数可有助于解决函数最值问题。二次函数最值考查的关键在于某个区间中二次函数最大值与最小值，这类题历年来都是高考必选题[1]，运用数形结合知识解答相对较为繁琐，而借助导数来判断二次函数区间内单调性及最值则十分有效。例如：已知f（x）=ln（1+x）-x，求f（x）最大值。在解题时我们可以利用导数进行解题，求出函数定义域后借助导数知识求出最大值。首先明确f（x）定义域为x（-1，-∞），导数为f'（x）=-1，使得f'（x）=0，可得出x=0，x取值范围处于-10；x>0下则f'（x）<0，而f（0）=0，因而当x取值为0时，f（x）有最大值，即最大值为f'（x）=0.

二、导数在曲线切线中的使用

几何图形问题解答中也可以利用导数知识进行求解，高中数学大题中常常会出现坐标系中求切线方程式问题，这种类型的题目主要是给我们一个曲线外坐标位置，经过这一坐标点求出曲线切线方程。例如，有曲线y= f（x），曲线外存在一坐标点A（x0， y0），求经过该点曲线切线方程。在借助导数知识进行这类问题解答中，我们先要判断的是点A在不在曲线上，然后求出导数f'（x）。如果A点处于曲线上，根据切线方程y-y0= f'（x） （x-x0）便能够求得答案；另外一种情况下，若A点处于非曲线上，可令切点（x1， y1），y1= f（x1），y0-y1=f'（x1）（x0-x1），得出切点值（x1， y1），由此便得到两个经过曲线的坐标，带入可得到经过A点曲线切线方程为y-y1=f'（x1）（x-x1）。

三、导数在不等式中的使用

对于不等式恒成立与能成立问题的研究是高中数学知识中的重点，在证明不等式恒成立问题时，我们都会出现无从下手的情况。其实借助导数知识，便可以将不等式恒成立问题简化成为函数最值问题。可通过构造，将不等式因子移到一边看作函数，对此函数单调性及最值问题来进行研究。还可以通过将不等式转化成易证明不等式来解决，若其中有ex或lnx，可转化为一次/二次函数，然后分析单调性和最值。方法总结为：①若f （x）>k在M上恒成立，则表示f （x）在M中f （x）min>k成立；②若f （x）g（x），则F（x）= f （x）-g（x），F（x）min>0；⑤如果任何x1，x2M下，存在f （x1）g（x2），则F（x）min> g（xmax）。

四、导数在数列问题中的使用

对于数列的学习，我们可以将其转化为以自然数作为自变量的函数来进行求解，如果能够用字母来表示数列通项解析式，便能借助导数知识来判定数列增减性，进而得出最大项、最小项。比如：数列{an}通项式an=7n2-n3，nN*，求解最大项。我们在解题时首先可以将数列转变成函数，即f （x）=7n2-n3，x（0，+∞），对函数进行求导得到f'（x）=14x-3x2，求导f'（x）为0情况下计算出x=14/3，由此对函数f（x）区间内单调性进行判断，即为当x大于0并小于14/3情况下，f'（x）>0，函数为单调递增；若x大于14/3情况下，则f'（x）<0，函数为单调递减，因此最值为x取值为14/3情况下，得出函数最大值。数列{an}中nN*，f （n）=7n2-n3，f （4）=48，f （5）=50，由此得出数列{an}最大项为50。

五、导数在实际问题中的使用

导数还与实际数学问题解答有密切关联，将其运用在代数中能够对瞬时变化率问题进行解答，甚至在物理速度、加速度问题中也能发挥作用[2]。比如一辆行驶的轿车，其平均行驶速度为60km/1小时，由于轿车在行驶的过程中受到交通环境的影响，会出现明显的快慢变化，并非是保持匀速行驶，不能达到60km/1小时。为了较好地反映汽车在行驶过程中行驶快慢变化情况，可以缩短时间间隔，将汽车所在位置s与时间t的关系，设为s=f（t），将汽车行驶时间变化由to设置为t，汽车行驶的平均速度為[f（t1）-f（t0）][t1-t0]，当t1与t0值无限趋近于0时，汽车行驶速度变化则不会很大，其瞬时速度值与平均速度较为接近，进而可以将t1→t0时的极限lim[f（t1）-f（t0）]/[t1-t0]，作为汽车在时刻t0的瞬时速度，即汽车行驶的速度，这实际上是由平均速度类比到瞬时速度的过程。

总之，导数知识对于高中数学知识解答有着重要作用，我们在学习过程中应充分利用导数知识来强化自身的数学解题能力，提高数学解题的正确率。

参考文献：

[1]吕世龙.高中数学导数知识的学习体会[J].中国农村教育，2018 （06）：24-25.

[2]王炫凯.导数几种问题的分析[J].中国校外教育，2017 （06）：126+136.