基于Mathematica的电磁场散度和旋度分布仿真实验研究

2018-12-17蒋少华

电脑知识与技术 2018年25期

蒋少华

摘要：散度、旋度是研究电磁场理论的基础，由于其定义抽象难以理解，不利于后续内容的学习。该文在实验教学中利用Mathematica对各种矢量场散度、旋度空间分布进行仿真，可以方便地画出矢量场的分布图，让学生直观地看到发散场、旋涡场的分布特点，更好地理解散度、旋度以及亥姆霍兹定理的意义。

關键词：电磁场；散度；旋度；Mathematica

中图分类号：TN011 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2018）25-0236-03

Research on Simulation Experiments of Field Distribution of Divergence and Curl in Electromagnetic Field based on Mathematica

JIANG Shao-hua

（College of Information Science and Engineering， Shaoguan University， Shaoguan 512005， China）

Abstract： Divergence and curl are the basis of the research on electromagnetic field theory. For abstract define， divergence and curl affect the follow-up content of learning. The software Mathematica is introduced for the experimental teaching of divergence and curl in electromagnetic field， which can easily draw the vector field distribution. Therefore， these help the students to see divergence field and vortex field distribution characteristics visually and better understand the meaning of divergence and curl and Helmholtz's theorem.

Key words： Electromagnetic field； Divergence； Curl； Mathematica

散度和旋度是描述矢量场的重要概念，是学习电磁场理论的基础[1]。由于静态电磁场、时变的电磁场等各种场的学习都围绕场的旋度、散度进行分析与研究，掌握散度和旋度的计算方法，理解这两个概念的物理意义很重要。有关散度、旋度的研究，教学同行提供了有益的建议，但文献大多从公式推导、理论讲述去研究，直观性仍不够[2，3]。

因为散度、旋度的内容安排在教材的前面章节，这部分内容还没有跟具体的应用结合，学生一开始学习觉得比较抽象，对散度、旋度的物理意义认识不足。因此，在电磁场理论实验教学中，以静电场与恒定磁场为例，让学生认识发散场、旋涡场的不同空间分布；另外，利用Mathematica软件，画出不同矢量场的分布图，让学生可以直观地看到不同的二维或三维分布图，改变参数图形会随着变化，通过这些方式，加深对两种不同场的理解，最后列举两个例子来加深理解亥姆霍兹定理的含义。

Mathematica软件是由沃尔夫勒姆研究公司（Wolfram Research Inc.）研发的一款计算软件，可以解决各种领域复杂的符号计算和数值计算的问题，可以方便地画出各类图形，从而形象地看到函数的某些特性，是目前为止使用最广泛的数学软件之一[4～7]。

1 发散场和旋涡场的区别

1.1 散度的物理意义

根据矢量场A在点P处的散度

由式（1）可知，?·[A]的物理意义是从点P单位体积内散发的通量，表征空间中通量源的密度，即发散源强度。?·[A≠0]表示有发散源，?·[A=0]表示无散源；矢量的散度是标量，大小等于三个方向的偏导数之和。

1.2 旋度的物理意义

根据矢量场A在点P处的旋度

由式（2）可知，?×[ A]的物理意义是点P的环量面密度，即旋涡源强度。[?×A≠0]，表示有旋场，?×[A=0]，表示无旋场。当矢量A旋涡面与l 围成的面元矢量方向一致时，环量面密度最大。

?×[A]是矢量，其大小等于最大环量面密度的数值，方向为环量面密度最大时l 围成的面元的方向。

1.3 两种典型的发散场和旋涡场

为了更好区别发散场和旋涡场，以静电荷产生的静电场以及通过恒定电流直导线产生的恒定磁场为例。

静电荷在空间周围产生的静电场，其电力线是一簇从点电荷出发向空间发散的径向辐射线，是发散场，如图1所示；长直通电导线周围的恒定磁场的磁力线是同心圆，是连续的闭合曲线，是旋涡场，如图2所示。

点电荷的电场以及长直通电导线周围的恒定磁场的矢量分布仿真图如图3、图4所示。从图中可以看出，发散场与旋涡场的分布是不同的。

2 亥姆霍兹定理的散度和旋度

根据亥姆霍兹定理（Helmholtz's theorem），矢量场A的散度代表着形成矢量场的一种源——标量源ρv，而矢量场A的旋度代表着形成矢量场的另一种源——矢量源J。一般来说，当一个矢量场的两类源（ρv， J）在空间的分布确定时，该矢量场就唯一地确定了。

亥姆霍兹定理给出了电磁场研究的思路：研究任意一个矢量场（如电场、磁场等）都应该从散度和旋度两个方面去进行，其中▽·A=ρv ，▽×A=J，称此为矢量场基本方程的微分形式；或者研究任意一个矢量场（如电场、磁场等）都应该从矢量场的通量和环量两个方面去研究，即[SA?dS=VρvdV]，[lA?dl=SJ?dS]，称此为矢量场基本方程的积分形式。

下面列举两个例子，从矢量的散度、旋度仿真分析结果来更好理解亥姆霍兹定理的含义。

例1：[A=ax（x-z）+ay（y+x）+azz]

首先，將A分成分解为一个无旋场分量A1和一个无散场分量A2之和，

即A=A1+A2

其中：[A1=axx+ayy+azz]， [A2=ax（-z）+ayx]

由于?×[A1=0]，?·[A2=0]，

则

?×[A=][?×A1][=3]

在本例中，ρv =?×[A][=3]， J=?×[A][=-ay+az]。矢量场A由两类源（ρv， J）确定了在空间的分布。

矢量场A与A1 、A2的矢量场分布仿真图如图5～图7所示，从矢量分布图可以看出：矢量场A既有散度也有旋度，无旋有散场分量A1矢量分布是发散场，无散有旋场分量A2矢量分布是旋涡场，矢量场A的空间场分布是发散源与旋涡源共同作用的结果。

矢量场A与A1 、A2的矢量场仿真图如图8～图10所示，从矢量分布图可以看出：矢量场A既有散度也有旋度，无旋有散场分量A1矢量分布是发散场，无散有旋场分量A2矢量分布是旋涡场，矢量场A的空间场分布是发散源与旋涡源共同作用的结果。

在例2中，[??A]不是恒定值，A1是个通量值变化的发散场，而例1[?·A]是恒定值，A1是个通量值恒定的发散场，两个都是发散场，分布图都是发散的，但两者分布不一致；例1、例2的A2矢量分布是旋涡场，分布图都是有旋的，两者旋涡分布有差别。由此可见，不同的矢量场，其散度、旋度在空间的分布不同。