一类带有接种及治疗的禽流感切换模型分析

2018-12-17康美仙赵叶青

重庆理工大学学报(自然科学) 2018年11期

康美仙，赵叶青

(中北大学理学院, 太原 030051)

1 问题的提出

禽流感最早在1878年报道于意大利,它是由甲型流感病毒引起的传染性疾病,且一般是由鸡、鸭等动物传染给人类的一种疾病。绝大多数禽流感不会感染人类,但是甲型H5N1和H7N9等某些病毒会造成严重的人类传染。甲型H5N1病毒亚型是一种高致病性禽流感病毒,它于1997年在香港首次发现禽类会把疾病传染给人类,又于2003和2004年由亚洲传播到欧洲、非洲,致使大量的禽类和人类死亡。而甲型H7N9病毒亚型是一种低致病性禽流感病毒,在2013年3月首次感染3位人类。这2种禽流感病毒已经在人类中流行起来,引起了全世界卫生组织的高度重视,因此为了能更好地预防和控制禽流感病毒,最近几年进行了大量的理论研究,成果见文献[1-5]。到目前为止,国家已经研制出一些预防和控制禽流感病毒的药物,但是药物资源有限且价格昂贵。如果投入量太大的话,在一定程度上会造成浪费,但是投入量太小的话,会在疾病流行时造成更大的人类和禽类的损失。文献[6-7]提出了一种分段治疗函数,当染病者数量没有超出最大治疗能力时,治疗率和染病者成正比;当染病者数量超出最大治疗能力时,取最大饱和治疗值。

本文把禽类和人类结合到一起考虑,把宿主人类分为S1,I1,R三类分别表示人类的易感者、感染者和恢复者；把媒介禽类也分为3类,分别用S2,I2,V表示禽类的易感者、染病者和接种免疫者。文献[8-9]研究了带有饱和治疗率的S,I,R模型,本文在禽流感模型中取类似于式(1)的治疗函数:

(1)

其中I0表示医疗体系中所承载的最大患病者数量。考虑带有治疗的如下禽流感传染病模型:

(2)

其中：正参数A1和A2分别表示人类和禽类的出生率；d1和d2分别表示人类和禽类的自然死亡率；μ1和μ2分别表示人类和禽类染病者的因病死亡率；r表示患者的恢复率；β1和β2表示传染率；p表示禽类的预防接种比例；θ表示免疫失效比例。

(3)

F1(z)=(A1-d1S1-β1S1I2,β1S1I2-

(d1+μ1+r)I1-kI1)′=

(f11(z),f12(z))′

F2(z)=(A1-d1S1-β1S1I2,β1S1I2-

(d1+μ1+r)I1-kI0)′=

(f21(z),f22(z))′

当I1=I0时,f12(z)=f22(z)，则系统(3)连续。

证明设zi∈M∩Gi,zi=(Si,Ii),g1=A1-d1S1-β1S1I2,g2=β1S1I2-(d1+μ+r)I1, |F1(z)-F2(z)|=[g1(z1)-g1(z2)]2+[g2(z1)-g2(z2)-k(I1-I0)]2≤[g1(z1)-g1(z2)]2+[∣g2(z1)-g2(z2)∣-k(I1-I0)]2。

从而由于

∣g1(z1)-g1(z2)∣2≤L1∣z1-z2∣2，

[g2(z1)-g2(z2)-k(I1-I0)]2≤

[∣g2(z1)-g2(z2)∣2+k2(I1-I0)2]≤

2L2∣z1-z2∣2+2k2(I1-I0)2≤

2L2∣z1-z2∣2+2k2(z1-z2)2=

(2L2+2k2)2∣z1-z2∣2

则|F1(z)-F2(z)|2≤(2L2+2k2+L1)∣z1-z2∣2,|F1(z)-F2(z)|≤L∣z1-z2∣,得证,从而系统的解存在且唯一。

当0

(4)

当I1>I0时,系统(2)变为：

(5)

2 平衡点的存在性

本节讨论系统(4)和系统(5)平衡点的存在性,首先对系统(4)进行分析。

利用Van den Driessche和Watmough的方法,得到模型(2)的基本再生数为

ξ=(R0-1)d2(d2+μ2)(d2+θ+p),η=β2(1-p)(d2+μ2)(θ+d2),由地方病平衡点的正性,可得以下定理:

定理1 对于系统(4),当R0<1时,仅存在无病平衡点E0，当R0>1时,不仅存在无病平衡点,还存在唯一的地方病平衡点E*。对于系统(5),当R0>1时,仅存在惟一的地方病平衡点E**。

3 无病平衡点的稳定性

系统(4)在无病平衡点E0的Jacobian矩阵为

课外学习的开展应该建立在课堂中课文的基础之上，在开展的过程当中，教师应该保证课外学习的内容既与课堂当中学习的内容相联系，同时还应该满足教学大纲的需求。教师在给学生留课下学习的任务时，应当从学生的实际问题出发，以在课堂中学到的知识为出发点，再对生活当中或者实际的社会当中所遇到的问题来进行展开。另一方面，课外学习也可以从学生的经验来开展，根据学生的学习兴趣，组织开展社区或者学校里面的兴趣活动，提高学生学习的兴趣。

其对应的特征方程为

(λ+d1)2[λ+(d1+μ1+r+k)](λ+d2)·

(λ+θ+p+d2)(λ-m)=0

其中m=(d2+μ2)(R0-1),因此当R0<1时,则方程的根均为负实部,可得出下面定理:

定理2 对于系统(4),当R0<1时,无病平衡点E0是局部渐近稳定的;当R0>1时,无病平衡点是不稳定的。

定理3 对于系统(4),当R0≤1时,无病平衡点E0是全局渐近稳定的。

4 正平衡点的稳定性

首先对系统(4)的正平衡点进行讨论,当h(I1)=kI1时，

[λ+(d1+β1I2)][λ+(d1+μ1+r+k)][λ+d1]=0

那么λ1=-(d1+β1I2),λ2=-(d1+μ1+r+k),λ3=-d1,A的特征根均为负的。

下面对矩阵C进行分析。C的特征方程是:λ3+n1λ2+n2λ+n3=0。其中:

n2=(θ+d2)d2R0+d2pR0+

(θ+d2)[(θ+d2)d2R0+d2pR0]>0

由Routh-Hurwitz判据得,C的特征根均具有负实部。于是有以下定理:

定理4 对于系统(4),当R0>1时,E*是局部渐近稳定的。

下面分析系统(5)的正平衡点,当h(I1)=kI0时,

矩阵C与h(I1)=kI1时相同，因此E**在R0>1是局部渐近稳定的。于是有下面的定理:

定理5 对于系统(5),当R0>1时,地方病平衡点E**是局部渐近稳定的。

当平衡点E*和平衡点E**发生碰撞时,此时得到系统(3)的一个广义平衡点E***,因为系统(3)是非光滑系统,需要应用广义雅克比矩阵论,即

{(1-p)J(E*)+pJ(E**)∣p∈[0,1]}

其矩阵A的特征多项式为:(λ+d1+β1I2)[λ+d1+μ1+r+(1-p)k](λ+d1)=0，那么λ1=-(d1+β1I2),λ2=-(d1+μ1+r)+(p-1)k,λ3=-d1。

由于p<1,则矩阵A的特征值均为负的,矩阵C与h(I)=kI1时相同，因此E***在R0>1是局部渐近稳定的。于是有下面的定理:

定理6 系统(3)的广义平衡点E***是局部渐近稳定的。

以下讨论正平衡点的全局稳定性，由于系统(2)的后3个方程不含S1,I1,R,后3个和前2个方程都不含R,因此要分析系统(2)平衡点E*的全局稳定性,只需研究系统(3)。

定理7 系统(3)在Ω区域中不存在极限环。

5 结束语

本文将人类和禽类结合到一起考虑，在治疗的情形下,建立了SIR-SIV动力学模型,通过对模型的分析,得到了禽流感是否传播的阈值,证明了当病人在治疗能力范围之内时,模型在R0<1时,只存在1个无病平衡点且是全局渐近稳定的,即疾病会消失。当R0>1时,只存在唯一的地方病平衡点E*且是全局渐近稳定的,即疾病会流行,如图1(a)所示。当医院超出治疗能力范围时,只有在R0>1时,存在唯一的地方病平衡点E**且是全局渐近稳定的,即疾病会传播,如图1(b)所示。因此为了疾病得到进一步的控制,可以降低禽类的输入,或者进行适当的捕杀等,从而对疾病起到良好的控制作用。