新建盾构隧道下穿既有隧道剪切错台变形计算

魏纲　俞国骅　杨波

摘要：采用剪切错台模型，研究新建盾构隧道正交下穿对上方既有地铁盾构隧道的影响.考虑新建隧道下穿时刀盘附加推力、盾壳摩擦力以及注浆附加压力在既有隧道轴线处产生的附加应力，将既有地铁盾构隧道簡化为由剪切弹簧连接的弹性地基短梁，运用最小势能原理并采用合理的位移试函数，建立计算方程来求解既有隧道的竖向位移值、盾构环之间的错台量、环间剪切力值以及这三者随着新建隧道掘进的三维变化过程.研究结果表明：用剪切错台模型和最小势能原理计算得到的既有盾构隧道竖向位移值与实测值较为吻合；既有盾构隧道竖向位移最大值处的隧道错台量接近0，在竖向位移曲线的反弯点处隧道错台量和环间剪切力值最大；随着新建隧道的掘进，既有隧道的竖向位移、错台量和环间剪力值不断增大，最后趋于稳定.

关键词：新建盾构隧道；既有隧道；下穿；剪切错台；隧道纵向位移

中图分类号：TU43 文献标志码：A

Calculation of Existing Shield Tunnel Shearing Dislocation Platform

Deformation Due to Undercrossing New Shield Tunnel Undercrossing

WEI Gang1， YU Guohua2， YANG Bo1

（1. Department of Civil Engineering，Zhejiang University City College，Hangzhou310015， China；

2. Department of Civil Engineering and Architecture， Anhui University of Science and Technology， Huainan232001， China）

Abstract：Model of shield tunnel considering the shearing dislocation was used to investigate the effect of the new shield tunnel undercrossing on existing tunnels. In light of the fact that the additional stress along the central axis of the existing tunnel was caused by the bulkhead additive thrust， the friction force between shield and soil， and grouting pressure in the process of undercrossing shield tunnel construction， the lining ring of shield tunnel was regarded as a series of short elastic foundation beams connected by shear spring. An equation was developed by the principle of minimum potential energy， and threedimensional change process of the vertical deformation， shear force and dislocation between rings with the excavation of the new tunnel were worked out. The research shows that the vertical displacement value calculated by the proposed method combined with the shearing dislocation model and the principle of the minimum potential energy agreed well with field test data. The dislocation of the segments where the vertical displacement is the maximum is close to 0. The maximum value of segment ring's dislocation and shearing force appears at the inflection point of vertical displacement curve. With the excavation of the new tunnel， the vertical deformation， shear force and dislocation between rings of existing tunnel increased and finally stabilized.

Key words：new shield tunnel； existing shield tunnel； undercrossing； shearing dislocation platform； longitudinal displacement

随着城市轨道交通的发展，新建盾构隧道下穿既有盾构隧道的工程越来越多.盾构隧道穿越会不可避免地引起周围土体的扰动[1-2]，导致周围土体产生位移，对既有隧道造成危害.因此研究新建盾构隧道穿越对既有隧道的影响具有重要意义.

目前，国内外关于新建隧道下穿既有隧道的研究大致可分为：理论分析法[3-7]、现场实测法[8-9]、数值模拟法[10-12]和模型试验法[13-14]等.其中在理论分析法中，文献[3]考虑了新建盾构施工产生的刀盘附加推力q、盾壳摩擦力f、同步注浆附加压力p及土体损失作用下所引起的既有隧道轴线处的附加应力，但其将既有隧道视为Winkler地基长梁，没有考虑管片之间的“接头效应”；文献[4]基于双面弹性地基梁理论与盾构隧道纵向等效连续化模型，计算了管片张开量，但没有考虑q、f、p的影响；文献[5]考虑了新建盾构施工产生的q、f和土体损失的作用，基于Pasternak地基模型得到既有隧道的位移计算公式，但没有考虑p的影响，且将隧道视为连续化；文献[6]基于Kerr地基模型，将已建隧道简化为连续的欧拉伯努利梁和铁木辛柯梁，将新建隧道对已建隧道的作用（即土体损失）简化为二维高斯分布荷载来求解既有隧道的变形，但没有考虑q、f、p的影响，无法计算既有隧道的三维变形；文献[7]基于Pasternak地基模型，将已建隧道简化为连续的欧拉伯努利梁，仅考虑土体损失来求解既有隧道的变形，没有考虑q、f、p的影响，无法计算既有隧道的三维变形.综上所述，现有方法均将盾构隧道视为连续体，没有考虑管片的接头效应，无法计算新建隧道下穿引起的既有隧道剪切错台变形.因此需研究能考虑管片接头效应的新建隧道下穿引起的既有盾构隧道变形计算方法.

本文考虑盾构切口附加推力q、盾壳摩擦力f、注浆附加压力p以及土体损失因素，计算新建隧道下穿时在既有隧道轴线处产生的附加应力；利用 “剪切错台模型” [15]，将隧道等效为一个一个由剪切弹簧连接的弹性地基短梁，运用最小势能原理计算新建隧道下穿施工引起既有盾构隧道的三维纵向变形、环间错台量以及环间剪切力.可评估新建隧道下穿时既有隧道的结构安全性和抗渗性.

1新建隧道下穿引起的既有盾构隧道附加

应力计算

1.1建立力学模型

盾构隧道下穿的力学计算模型如图1所示.图中既有隧道轴线埋深为z，新建盾构隧道轴线埋深为z0，隧道半径为Rs，刀盘附加推力q作用于开挖面，盾壳摩擦力f沿盾壳分布，注浆附加压力p在盾构尾部沿径向分布，令作用宽度为m0，盾构切口在xoz平面上.

1.2各个分力产生的竖向附加应力

设既有盾构隧道轴线处一点坐标为（x，y，z），求该点处的附加应力.根据Mindlin公式进行积分求解，可推导得到荷载q、f、p在既有隧道轴线处引起的竖向附加应力，具体推导见文献[16].

1.2.1刀盘附加推力q产生的竖向附加应力σz-q

在盾构刀盘处取任一微元体dA=rdrdθ，积分示意图见图2.运用Mindlin公式积分得到刀盘附加推力q在该点处产生的竖向附加应力σz-q为：

dσz-q=-qrdrdθy8π（1-v）{（1-2v）R31-（1-2v）R32-

3（z-z0+rsin θ）2R51-3（3-4v）（z+z0-rsin θ）2R52+

6（z0-rsin θ）R52[z0-rsin θ+（1-2v）×

（z+z0-rsin θ）+5z（z+z0-rsin θ）2R22]}（1）

R1=x-rcos θ2+y2+z-z0+rsin θ2R2=x-rcos θ2+y2+z+z0-rsin θ2

σz-q=∫Rs0∫2π0dσz-q（2）

式中：v为土的泊松比.

1.2.2盾壳摩擦力f产生的竖向附加应力σz-f

在盾壳壁上取任一微元体dA=Rsdsdθ，积分示意圖见图3.运用Mindlin公式积分得到盾壳摩擦力f在该点处产生的竖向附加应力σz-f为：

dσz-f=-fRsdsdθy-s8π1-v{1-2vR33-

1-2vR34-3z-z0+Rssin θ2R53-

33-4vz+z0-Rssin θ2R54+

6z0-Rssin θR54[z0-Rssin θ+1-2v×

z+z0-Rssin θ+5zz+z0-Rssin θ2R24]}（3）

R3=x-Rscos θ2+y-s2+z-z0+Rssin θ2

R4=x-Rscos θ2+y-s2+z+z0-Rssin θ2

σz-f=∫L0∫2π0dσz-f （4）

式中：L为新建盾构机机长.

在盾尾注浆处取任一微元体dA=Rsdsdθ，积分示意图见图4.运用Mindlin公式积分得到注浆附加压力竖向分力p1：

dσz-p1=

-pRssin θdsdθ8π1-v[-1-2vz-z0+Rssin θR35+

1-2vz-z0+Rssin θR36-3z-z0+Rssin θ3R55-

33-4vzz+z0-Rssin θ2R56+

3z0-Rssin θz+z0-Rssin θ5z-z0+Rssin θR56-

30z0-Rssin θzz+z0-Rssin θ3R76]（5）

R5=x-Rscos θ2+y-L-s2+z-z0+Rssin θ2

R6=x-Rscos θ2+y-L-s2+z+z0-Rssin θ2

σz-p1=∫m00∫2π0dσz-p1（6）

注浆附加压力水平向分力p2：

dσz-p2=pRscos θdsdθ（x-Rscos θ）8π（1-v）×

{（1-2v）R35-（1-2v）R36-3（z-z0+Rssin θ）2R55-

3（3-4v）（z+z0-Rssin θ）2R56+

6（z0-Rssin θ）R56[z0-Rssin θ+（1-2v）×

（z+z0-Rssin θ）+5z（z+z0-Rssin θ）2R26]}

（7）

σz-p2=∫m00∫2π0dσz-p2（8）

1.2.4土体损失产生的竖向附加应力

采用魏纲[17]基于文献[18]二维解建立的盾构法隧道统一土体移动模型三维解，得到单线盾构施工由于土体损失引起的管线平面处任一点的土体竖向位移为Uz，进而得到土体损失在既有隧道轴线处产生的竖向附加应力σs为：

σs=k′Uz（9）

Uz=BηR2s4{z0-zx2+z0-z2+z0+zx2+z0+z2-

2z[x2-z0+z2][x2+z0+z2]2}（1+yy2+z0）×

exp {x2ln λz0+Rs2+z2ln λ-ln δz0+d2}（10）

其中：B=4z0[z0+d-（z0+d）2-η（y）（Rs+d）2]RsηyRs+d

δ=12-1πarcsin 2dRs（1+1-η（y））

λ=14-2（（1-1-η（y））πη（y）×

[arcsin （dRs1-η（y））+

1-（dRs1-η（y））2-1]

η（y）=η21+yy2+z20

式中：k为地基基床系数；d为土体移动焦点到新建隧道中心点的距离；η为最大土体损失百分率（%）.

最终得到隧道下穿引起既有隧道轴线处产生的竖向总附加应力值σz为：

σz=σz-q+σz-f+σz-p1+σz-p2+σs（11）

2基于最小势能原理计算隧道竖向变形

2.1盾构隧道与土体相互作用分析

在分析盾构隧道与土体相互作用时，假定：将盾构隧道衬砌环视为由剪切弹簧连接的弹性地基短梁，新建隧道下穿导致隧道以环间剪切错台的方式进行变形，见图5.图中D为既有盾构隧道直径.相关学者[19-20]已经验证了该模型的合理性.

2.2运用能量变分法计算隧道纵向位移量

2.2.1盾构隧道的总势能

任取盾构隧道一环进行分析，编号为m，其所受到的竖向荷载Fz为：

Fz=Pz（x）-kDSz（x）-kt（ΔWz（m+1）+ΔWz（m））（12）

式中：Pz（x）为附加水平荷载，Pz（x）=Dσz；kDSz（x）为地基抗力，k为地基基床系数，采用Vesic[21]公式计算，k=0.65Es1-μ212EsD4EtIt，Sz（x）为地基弹簧的位移，根据位移协调条件则Sz（x）=Wz（x），这里Wz（x）为隧道的水平位移，Es为地基土的弹性模量，EtIt为隧道的等效抗弯刚度；kt为隧道的环间剪切刚度；kt（ΔWz（m+1）+ΔWz（m））为水平环间剪切力.

根据盾构隧道每片衬砌环的受荷状况，分析计算得到盾构隧道的总势能，具体分为以下3部分：①新建隧道下穿引起临近既有盾构隧道轴线处附加荷载做功Wp；②盾构隧道衬砌环克服地层抗力做功Wk；③衬砌环克服盾构环间剪切力做功Ws.具体表达式可参考文献[22].可得到新建隧道下穿引起的临近既有地铁盾构隧道的总势能为：

Ep=Wp+Wk+Ws（13）

2.2.2假设隧道衬砌环的位移函数

能量变分解法原理是假定合适的位移函数来表示盾构隧道受新建隧道影响的基本变形形状.本文假设隧道位移函数[23]如下，并按傅里叶级数展开，隧道的竖向位移函數为：

Wz（x）=∑

SymboleB@ n=0ancos nπxNδ={Tn（x）}{A}（14）

式中：Tn（x）={1， cosπxNδ， cos2πxNδ， …， cosnπxNδ}，δ为既有盾构隧道环宽；A为位移函数中的待定系数矩阵，A={a1，a1，…，an}T；n为傅里叶级数的展开阶数.

2.2.3变分控制方程

基于能量变分法，将总势能Ep对各待定系数取极值，即：

Epξi=0，ξi=a0…an（15）

式中：ξi为矩阵A中的各个元素.

对式（15）求解，可得隧道竖向位移控制方程为：

{∑N-1m=-Nkt[Wz{（m+1）δ}-Wz（mδ）]ξi[Tn（（m+1）δ）-

Tn（mδ）+∫Nδ-Nδ-kDWz（x）ξi{Tn（x）}dx·{A}=

∫Nδ-NδPz（x）{Tn（x）}Tdx （16）

式中：2N为新建隧道施工既有隧道受影响的隧道衬砌环数.

将式（16）表达为矩阵形式：

（[Kt]+[Ks]）{A}=PzT（17）

式中：[Kt]为隧道环间刚度矩阵，且

Kt=∑n-1m=-Nkt[Tn（（m+1）δ）T-Tn（mδ）T]×

[Tn（（m+1）δ）-Tn（mδ）]；

[Ks]为土体刚度矩阵，且

Ks=kDL211；

{Pz}T表示自由土体位移和隧道衬砌环的相互作用效应，具体表示为：

PzT=∫Nδ-NδPz（x）{Tn（x）}Tdx（18）

由式（16）计算可得到待定系数矩阵A，再代入假设的隧道位移函数W（x）即式（14），可以得到在新建隧道开挖时引起的既有盾构隧道纵向位移值.

相邻盾构管片之间位移差值即错台量ΔW，其中隧道的竖向错台量为：

ΔWz=Wz[（m+1）δ]-Wz（m）（19）

相邻盾构管片环之间的竖向剪切力为：

Qz={Wz[（m+1）δ]-Wz（mδ）}·kt（20）

取10阶的刚度矩阵[Kp]和[Kt]即可满足计算精度，以上算法通过Matlab编程进行数值计算.

3工程实例验证

选取文献[6]和文献[4]中新建隧道正交下穿既有隧道案例，计算得到既有盾构隧道竖向位移值，并且与实测隧道位移值对比，来验证本文方法的合理性和适用性.文中盾构隧道位移均指管片轴线中心的位移值.两案例基本参数见表1.

3.1案例1

图6为该案例采用2种方法计算得到的隧道竖向位移曲线，图中竖向位移负值代表沉降，正值代表隆起，以下同.如图6所示，本文方法与文献[6]计算得到的隧道沉降量在数值和趋势上都较为吻合，本文方法计算结果略偏大；最大沉降量分别为5.95 mm和6.17 mm，没有超过《上海市地铁沿线建筑施工保护地铁技术管理暂行规定》中规定的地铁结构最终绝对位移限值20 mm.

通过三维计算，可以得到既有隧道（0，0，0）坐标处的隧道竖向位移随着新建隧道开挖的变化过程，见图7.如图7所示：1） 随着新建隧道的掘进，（0，0，0）点处的隧道沉降量最初缓慢增加；当两者水平距离小于10 m时，（0，0，0）点处沉降量快速增加；当开挖面经过该点，掘进至y=-20 m处时，该点沉降量达到最大，而后略微上升，趋于平稳.2）土体损失所引起的该点沉降量最为明显.

图8为既有隧道竖向位移随新建隧道开挖变化曲线.如图8所示：随着新建隧道的掘进，既有隧道的竖向位移不断增加，开挖至y=-20 m以后，既有隧道沉降量趋于平稳.

本文方法相对于文献[6]方法，还能够计算得到相邻盾构环之间的错台量和环间剪切力.图9为本文方法计算得到的管片竖向错台量随新建隧道掘进的变化曲线.如图9所示：随着新建隧道的掘进，既有隧道的错台量也在不断加大，当新建隧道掘进至y=-20 m以后，既有隧道的错台量就趋于一个稳定值；当y=-20 m时，在隧道沉降曲线反弯点处的管片错台量处于最大值，达到0.36 mm.参考上海盾构隧道错台等级划分标准[24]，该错台量的评价等级为Ⅱ级，没有超过4 mm的控制标准，但隧道整体结构的安全性和抗渗性均有所降低，应该加强监测；在隧道沉降量最大点处的管片错台量接近0，表明隧道沉降量最大点附近相邻盾构环之间几乎不发生错台变形，该位置附近的管片整体发生了位移.

图10为本文方法计算得到的竖向环间剪力值随新建隧道掘进的变化曲线.如图10所示：盾构隧道环间剪力值的变化规律与管片错台量的变化规律相一致，隧道竖向位移最大值处的环间剪力值接近0，说明该位置处的盾构隧道管片没有发生错动，管片之间的连接螺栓没有受力；y=-20 m时，在隧道沉降曲线反弯点处的剪力值最大，最大值为88 kN.本工程中相邻隧道环之间用17颗M30螺栓连接，其剪切强度极限为665.36 kN，计算得到的最大剪力值没有超过该极限值，该盾构隧道处于安全状态.

3.2案例2

图11为该案例采用2种方法计算得到的隧道竖向位移曲线.如图11所示，本文方法与文献[4]计算得到的隧道最大沉降量分别为2.30 mm和2.09 mm，没有超过《上海市地铁沿线建筑施工保护地铁技术管理暂行规定》中规定的地铁结构最终绝对位移限值20 mm.文献[4]计算得到的曲线在（-6 m，-4 m）和（4 m，6 m）这两个阶段下降较快，相比于实测值明显偏小；本文方法计算得到的曲线与实测曲线拟合效果较好.

本文方法相对于文献[4]方法，还能计算得到相邻盾构环之间的错台量和环间剪切力随新建隧道掘进的变化曲线，规律与案例1类似，本文不再赘述.

4隧道竖向位移的单因素影响分析

以文献[6]中的案例作为算例，采用其案例中的各项参数作为标准工况，探究新建隧道正交下穿时，影响既有隧道竖向位移的影响因素.该工况下y=-20 m.

4.1z0改变对既有隧道竖向位移的影响

在标准工况下以新建隧道轴线埋深z0作为控制变量，改变z0的大小，分别取z0=20.1 m、25 m、30 m和35 m这4种工况，来研究z0改变对既有隧道竖向变形的影响规律.

图12为不同z0值时计算得到的盾构隧道竖向位移变化曲线.如图12所示：1） 在新建盾构隧道作用下既有盾构隧道竖向变形曲线呈中间沉降，沉降段大致呈正态分布规律，影响范围沿既有隧道轴线方向（-40 m，40 m）；2） 随着z0逐渐变大，隧道的沉降值逐渐变小，即新建隧道与既有隧道之间的垂直距离越大，既有隧道的沉降量就越小，该结论与房明等[11]文中“随着隧道间相对距离的增大位移峰值减小”相一致，所以在类似工况下施工时，如果两条隧道间距较近的情况下，需要对既有隧道做好监测与加固工作；3） 隧道影响范围中部沉降量变化大，两端变化小.隧道变形影响范围则基本不变.

4.2z改变对既有隧道竖向位移的影响

在标准工況下以既有隧道轴线埋深z作为控制变量，改变z的大小，分别取z=7 m、9.1 m、12 m和14 m这4种工况，来研究z改变对既有隧道竖向变形的影响规律.

图13为不同z值时计算得到的既有隧道竖向位移曲线.如图13所示：1）新建盾构隧道施工引起的既有盾构隧道竖向变形曲线呈中间沉降，沉降段大致呈正态分布规律，规律与图12基本一致；2）随着z逐渐变大，隧道沉降值也逐渐变大，即既有隧道上部覆土厚度越大、既有隧道的沉降量就越大，该结论与房明等[11]文中“既有隧道衬砌的位移随着隧道覆土厚度的增大而增大”相一致.主要原因是覆土厚度越大、既有隧道与新建隧道越接近，新建隧道开挖引起的土体位移也就越大；3）隧道影响范围中部沉降量变化大，两端变化小.隧道变形的影响范围则基本不变，该规律与图12相一致.

4.3Rs改变对既有隧道竖向位移的影响

在标准工况下以新建隧道半径Rs作为控制变量，改变Rs的大小，分别取Rs=3.1 m、4 m、5 m和6 m这4种工况，来研究Rs改变对既有隧道竖向变形的影响规律.

图14为不同Rs值时计算得到的盾构隧道竖向位移变化曲线.如图14所示：随着新建隧道半径的增加，既有隧道的竖向沉降量也随之增加.这是由于新建隧道的半径越大，相当于挖去的土体越多，土体应力损失越大，从而导致既有隧道变形加剧.

5结语

1） 本文方法能够计算得到由于新建盾构隧道下穿开挖引起的既有盾构隧道的三维竖向位移，以及盾构隧道环之间的错台量和环间剪切力，由此可判断既有盾构隧道结构的安全性和稳定性.

2） 随着新建隧道的掘进，既有盾构隧道纵向变形大致呈正态分布，中间大、两端小，且影响范围较大；随着新建隧道开挖，既有盾构隧道的竖向位移量、环间错台量以及环间剪力值都在不断地增大，当新建隧道穿越过既有隧道，掘进至一定距离时，这些值又趋于稳定；土体损失引起的既有隧道沉降量最为明显.

3） 新建隧道下穿既有隧道时，两隧道间距离越大时，既有盾构隧道的沉降量越小，所以当新建盾构隧道近距离下穿既有隧道时，需要对既有隧道加强监测，变形过大时应及时加固；新建盾构隧道的半径越大时，既有盾构隧道的沉降量越大.

本文仅研究了新建隧道和既有隧道正交的工况，没有探究两者斜交或平行的工况；限于篇幅，仅研究了既有隧道的竖向位移，没有研究水平位移；另外对既有盾构隧道纵向变形的安全性评估偏简单，可在本文基础上作进一步研究.

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