一种模拟竖直地埋管换热器的热响应因子

陈友明　潘冰冰　张训水　杜次元

摘要：为了快速并准确地计算钻孔群地下土壤和钻孔内流体的温度，在现有的模拟竖直埋管长期换热的模型基础上，提出了一种新的计算竖直地埋管钻孔域温度响应的响应因子——单位矩形脉冲热负荷作用下热响应函数（δ函数）.通过将δ函数与快速傅里叶变换相结合来提高δ函数的模拟速度，将该响应因子及算法与g函数进行了精度和计算速度的对比.结果表明：该响应因子及算法不仅与g函数有相同的计算精度，而且计算速度有显著的提高，当模拟5×8的钻孔群30 a的温度响应时计算时间不到90 s.

关键词：竖直埋管换热器；单位矩形热脉冲；δ函数；快速傅里叶变换；逐时模拟

中图分类号：TK521.2文献标志码：A

A Thermal Response Factor Simulating

Vertical Ground Heat Exchanger of GCHP Systems

CHEN Youming， PAN Bingbing， ZHANG Xunshui， DU Ciyuan

（College of Civil Engineering， Hunan University， Changsha410082， China ）

Abstract：To quickly and accurately compute the borehole fluid and ground temperature， a new thermal response factors （referred as δfunction） was proposed to calculate the ground temperature response of bore field to a unit rectangular heat pulse. The proposed model is based on the existing models for the long δterm simulation of vertical heat exchanger. In this paper， the δfunction was combined with the fast Fourier transform to improve the computation speed of the δfunction. Then， the response factor and algorithm were compared with the δ function in terms of accuracy and computation time. The results show that when combined with the fast Fourier transform， the gfunction not only has the same precision with that of the gfunction， but also has significantly faster computation speed than that of the gfunction. It only spends shorter than 90 seconds to complete the 30 year hourly simulation of a 5×8 bore field.

Key words：vertical ground heat exchanger； rectangular heat pulse； δfunction； fast Fourier transform； hourly simulation

土壤源熱泵系统作为一种高效、节能、清洁的空调系统，被广泛应用在住宅和商业建筑中，地埋管换热器与周围土壤间传热研究是土壤源热泵技术研究与应用的关键.竖直埋管换热器传热性能研究也是土壤源热泵系统研究与应用的基础，地埋管土壤源热泵设计的最主要任务是保证土壤源热泵在整个生命周期内U型管内循环介质的温度都在设计要求范围内，这要求对地埋管长期换热性能进行模拟分析.但是，现有的计算U型管内温度响应的方法普遍存在计算速度过慢的问题，不适用于进行长达数十年的传热模拟分析.因此对于地埋管技术的应用和经济优化而言，开发更加有效实用的地埋管传热分析工具显得尤为重要.

对竖直埋管换热性能的分析，通常以钻孔壁为边界将传热分为两个计算区域：钻孔内区域按照稳态传热过程计算，钻孔外区域看作非稳态传热计算.两个区域分别求得钻孔内热阻和钻孔壁温度响应，从而得到钻孔内流体的温度响应.

现有的模型主要以数值方法和解析方法为主，基于g函数法分析土壤源热泵地埋管的换热性能的算法是目前使用最多的方法.早期的竖直埋管换热传热模型主要以“线热源”[1-2]模型或者“柱热源”[3-4]为主，这类模型基于无限长热源的假定且忽略了轴向的热流，因此不能分析长期传热的模拟.Eskilson[5]考虑轴向热流和地面定温条件的影响，提出有限长热源模型，并得出了单钻孔地埋管换热器在阶跃热流作用下的温度响应（即g函数）.由于模型中g函数是由数值方法得出，需先得出不同埋管形式的g函数，计算耗时且灵活性差.Zeng等[6]在Eskilson算法基础上得到了g函数的解析表达式，然而此模型解析式是二重数值积分形式，计算速度慢.Lamarche和Beauchamp等[7]改进了g函数解析式得到了一维积分形式，同时改进了计算精度和速度.杜次元[8]提出了改进g函数的解析式，在满足计算精度的同时进一步提高了计算效率，但是改进的g函数用于钻孔群长期的传热模拟时耗时较多，仍旧不能满足工程计算的要求.

本文在改进g函数[8]的基础上提出了单位矩形脉冲热流作用下无量纲温度响应函数（即δ函数），引入了快速傅里叶变换算法（FFT算法）[9]来改造δ函数中的卷积.δ函数与快速傅里叶变换相结合的方法用于计算土壤和钻孔壁温度响应时，在满足土壤源热泵系统设计模拟精度的同时极大地提高了计算速度.

1基于矩形脉冲热流的响应因子

1.1改进的g函数

为了导出单位矩形脉冲热流作用下的热响应因子，需要对竖直地埋管有限长线源g函数进行改造.在有限长线源模型的基础上，通过对热响应因子g函数采用调换积分次序的方法可导出积分范围为[0，Fo]，任意位置（r，z）的土壤温度g函数解析式[8]，其表達式如下：

g（β，η，Fo）=∫Fo0g′Fo（β，η，Fo）dFo=

∫Fo0exp （-β2/4Fo）4Fo[2-erfc（1-η2Fo）+

erfc（1+η2Fo）-2erfc（η2Fo）]dFo （1）

式中：Fo=ατ/H2表示τj时刻的傅里叶时间间隔；α为土壤热扩散系数；τ为时间；β=r/H；η=z/H；r为距钻孔中心的径向距离；z为沿钻孔的深度；H为钻孔深度.当r=rb时，公式（1）表示钻孔壁温度响应的g函数解析式，且式中βb=rb/H.该调换积分次序的方法在文献[11]中也得到应用.

单钻孔壁中点（r=rb，η=0.5）温度的g函数表达式为：

b=g（βb，0.5，Fo）=∫Fo0g′Fo（βb，0.5，Fo）dFo=

∫Fo0exp （-β2b/4Fo）4Fo[2-3erfc（0.52Fo）+

erfc（1.52Fo）]dFo （2）

单钻孔壁（r=rb）平均温度g函数表达式为：

b=（βb，Fo）=∫Fo0′Fo（βb，Fo）dFo=

∫Fo0exp （-β2/4Fo）4Fo[2-4erfc（12Fo）+

2erfc（1Fo）-A（Fo）]dFo （3）

式中：A（Fo）=2Fo[exp （-1Fo）-4exp （-14Fo）+3]/π.

1.2单位矩形脉冲热流作用下热响应因子——δ函数

土壤源热泵系统负荷是随时间变化的，对应的

地埋管换热器热流也是随时间变化的.为了便于分析，用图1所示的一系列矩形脉冲热流来近似表示随时间变化的热负荷，矩形脉冲宽度为模拟的时间步长Δτ，通常选用一个小时作为时间步长，且τ<0时q=0.

利用g函数方法（即叠加原理[10，12]）得到单个钻孔在任意变负荷作用下τj时刻的任意位置（r，z）土壤温度响应为：

T（r，z，τj）-T0=12πk∑ji=1[q（τi）-

q（τi-1）]g（β，η，Foj-Foi-1） （4）

式中：Foi=ατi/H2；k为土壤导热系数.

如图2所示，应用矩形脉冲热流的概念，任一作用时间[τi-1，τi]内的单个矩形脉冲热流可以表示为两个阶跃热流的叠加.由此可知，在任一作用时间[τi-1，τi]内的矩形脉冲热流作用下的τj时刻，任意位置（r，z）土壤温度响应表示式为：

T（r，z，τj）-T0=

12πkq（τi）[g（β，η，Foj-Foi-1）-

g（β，η，Foj-Foi）]（j≥i） （5）

定义时间间隔为Δτ（Δτ=τi-τi-1）的矩形脉冲热流作用下无量纲温度响应函数为响应因子δ函数，其表达式为：

δ（β，η，Fo）=g（β，η，Fo）-g（β，η，Fo-ΔFo）=

∫ΔFo0g′Fo（β，η，Fo-τ）dτ （6）

式中：ΔFo（ΔFo=Foi-Foi-1=Δτ·α/H2）为傅里叶时间间隔，表1中列出了两种土壤种类对应的ΔFo取值.

3）当模拟钻孔数目多和模拟时间跨度大时，无论g函数还是δ函数，采用CTD的计算速度都不够理想.通过δ函数与FFT变换相结合，显著提升了δ函数的模拟计算速度，完成40孔30 a的地埋管换热模拟只需要不到90 s的时间.

4结论

1）本文提出了竖直地埋管在单位矩形脉冲热负荷作用下的热响应因子——δ函数.δ函数有2个显著特点：①δ函数的积分区间远远小于g函数的积分区间；②用δ函数进行逐时模拟时，逐时热负荷不分解为两个阶跃热负荷的叠加，可以直接用于计算土壤、钻孔壁和流体温度.因此与g函数相比，δ函数的计算速度得到了很大提升.

2）在相同综合负荷条件下，比较不同响应因子和算法模拟钻孔内流体温度时的计算误差.结果表明， δ函数和g函数都是有限长线源模型的精确解，有很高计算精度.积分区间也影响着响应因子计算结果的精确性，积分区间越大时数值积分误差越大.

3）本文将δ函数与快速傅里叶变换（FFT方法）相结合来代替温度响应计算的卷积，显著加快了模拟计算速度.在模拟多钻孔长时间运行的温度响应时，仅需要几十秒～几分钟的时间，为土壤源热泵钻孔外温度响应逐时模拟提供了快速、准确的计算方法，对于土壤源热泵系统设计优化、能耗模拟等研究具有重要价值.

参考文献

[1]INGERSOLL L R， PLASS H J. Theory of the ground pipe heat source for the heat pump[J]. ASHRAE Transactions， 1948，54：339-348.

[2]INGERSOLL L R， ADLER F T， PLASS H J， et al. Theory of earth heat exchangers for the heat pump[J]. ASHRAE Transactions， 1950， 56：167-188.

[3]INGERSOLL L R， ZOBEL O J， INGERSOLL A C. Heat conduction with engineering， geological， and other applications[M]. New York： McGrawHill， 1954：51-70.

[4]CARLAW H S， JAEGE R J C. Conduction of heat in solids[M]. Oxford，UK： Claremore Press， 1947：258-264.

[5]ESKILSON P. Thermal analysis of heat extraction boreholes[D]. Lund， Sweden： Department of Mathematical Physics， University of Lund， 1987：58-69.

[6]ZENG H Y， DIAO N R， FANG Z H. A finite linesourece model for boreholes in gethermal heat exchanger[J]. Heat Trans Asian Research， 2002， 31（7）：558-567.

[7]LAMARCHE L， BEAUCHAMP B. A new contribution to the finite linesource model for geothermal boreholes[J]. Energy & Buildings， 2007， 39：188-198.

[8]杜次元. 竖直埋管换热器传热计算方法研究[D] .长沙：湖南大学土木工程学院， 2010：26-40.

DU C Y. Research on heat transfer calculation of vertical ground heat exchangers[D] .Changsha： College of Civil Engineering， Hunan University， 2010：26-40.（In Chinese）

[9]COOLEY J W， TURKEY J W. An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series[J]. Mathematics of Computation， 1965，19：297-301.

[10]YAVUSTURK C. Modeling of vertical ground loop heat exchangers for ground source heat pump systems[D] .Stillwater Oklahoma， USA： Oklahoma State University， 1999：68-75.

[11]陈友明，张训水，杜立志，等.有渗流地埋管传热模型及快速算法[J].湖南大学学报（自然科学版）， 2013，40（1）：15-20.

CHEN Y M， ZHANG X S， DU L Z，et al. A heat transfer model of geothermal heat exchangers with groundwater advection and its fast algorithms[J]. Journal of Hunan University（Natural Sciences）， 2013.40（1）：15-20.（In Chinese）

[12]刁乃仁，方肇洪.地埋管地源热泵技术[M].北京：高等教育出版社， 2006： 47-68.

DIAO N R，FANG Z H. Groundcoupled heat pump technology[M].Beijing： Higher Education Press，2006：47-68.（In Chinese）

[13]DU C Y， CHEN Y M.An average fluid temperature to estimate borehole thermal resistance of ground heat exchanger[J]. Renewable Energy， 2011，36（6）：1880-1885.

[14]陈友明，杜次元. 流体平均温度分析钻孔内热阻[J]. 湖南大学学报（自然科学版）， 2011，38（5）：24-28.

CHEN Y M， DU C Y. Average fluid temperature used to calculate borehole thermal resistance of ground heat exchanger[J]. Journal of Hunan University（Natural Sciences）， 2011，38（5）：24-28.（In Chinese）

[15]OPPENHEIM A V， SCHAFER R W， BUCK J R.離散时间信号处理[M].刘树堂，黄建国，译.西安：西安交通大学出版社， 2001：436-471.

OPPENHEIM A V， SCHAFER R W， BUCK J R. Discretetime signal processing[M].Translated by LIU S T，HUANG J G.Xi'an： Xi'an Jiaotong University Press，2001：436-471.（In Chinese）

[16]MARCOTTE D， PASQUIE P. Fast fluid and ground temperature computation for geothermal groundloop heat exchanger systems[J]. Geothermics， 2008，37（6）：651-665.