弯曲时空中检验粒子的运动

袁业飞

(中国科学技术大学天文学系 中国科学院星系与宇宙学重点实验室,安徽 合肥 230026)

引 言

1915年11月25日爱因斯坦向普鲁士科学院提交了一篇名为《引力场方程》的论文,标志着广义相对论的正式建立[1]。虽然广义相对论的建立距今已有上百年的历史[2],由于作为广义相对论数学语言的黎曼几何并不为广大物理专业学生和教员所熟悉，这阻碍了人们对广义相对论思想的理解[3]。在这篇短文中，我试图通过利用分析力学来研究弯曲时空中检验粒子的运动，来阐述引力几何化的基本思想。

1 平直空间中自由质点的运动

(1)

另一方面，在绝对时空中，空间是平直的欧几里德空间。在欧氏空间中，两点之间(假设为A,B两点)距离最短的曲线是直线。假设曲线的参数化的方程为：xi(λ)，其中λ为曲线参数,那么A,B两点之间曲线的长度为：

(2)

(3)

从上式可以看出，若取λ=s,等效的拉格朗日量Leff为：

(4)

比较方程(1)和方程(4)，可以得到这样的结论：在平直空间中，自由质点的拉格朗日量L只含有动能项与质点走直线(短程线)是完全等价的，即时空的性质决定了自由粒子的运动。

2 弯曲空间中自由质点的运动

为了进一步讨论弯曲空间中自由质点的运动，我们需要知道如何从数学上刻画时空的弯曲。

2.1 三维平直欧几里德空间

在欧几里德空间中,若选取笛卡尔坐标系(x1,x2,x3)=(x,y,z),则相邻两点之间的空间线元为：

ds2=(dx1)2+(dx2)2+(dx3)2=gijdxidxj

(5)

其中度规gij=diag{+1,+1,+1}完全刻画了空间的性质,在上式中(i,i=1,2,3)，并且我们采用了Einstein约定：上下重复指标代表求和。

如果在欧几里德空间中选取球坐标(x1,x2,x3)=(r,θ,φ),则空间线元为：

ds2=dr2+r2dθ2+r2sinθ2dφ2=gijdxidxj

(6)

这里度规gij=diag{+1,r2,r2sinθ2}。度规分量虽然随着坐标系的选择而不同，但是，显然空间的性质(平直空间)并不依赖于坐标系的选择(或坐标变换)。在黎曼几何中，数学家找到了包含度规函数及其一阶和二阶导数的黎曼曲率张量来刻画时空的弯曲程度，只有当黎曼曲率张量在空间所有点都为零，该空间才是平直空间。

2.2 四维平直闵可夫斯基(Minkowski)空间

在闵可夫斯基(Minkowski)空间中[5]，若空间部分的坐标仍选取笛卡尔在坐标,{xμ}={x0,x1,x2,x3}={t,x,y,z}(μ=0,1,2,3),则时空线元为(已取c=1)：

ds2=-dt2+(dx1)2+(dx2)2+(dx3)2=gμνdxμdxν

(7)

其中度规gμυ=diag{-1,+1,+1,+1}。

如果在闵可夫斯基空间中，空间部分的坐标取球坐标,{xμ}={x0,x1,x2,x3}={t,r,θ,φ},则时空线元为：

ds2=-dt2+dr2+r2dθ2+r2sinθ2dφ2=gμυdxμdxυ

(8)

这里度规gμυ=diag{-1,+1,r2,r2sin2θ}。类似上小节的讨论，无论选取哪种坐标系，时空的本性没有改变。

2.3 四维弯曲空间

在爱因斯坦的广义相对论中，时空度规函数gμυ由爱因斯坦场方程决定。1915年在爱因斯坦场方程发表的当年，史瓦兹(Karl Schwarzschild)就得到了场方程的第一个严格解，该度规描述的是引力质量为M球对称天体在它外部周围产生的弯曲时空的性质[6]。在史瓦兹坐标{xμ}={t,r,θ,φ}下，该时空线元如下：

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(9)

即时空度规为：gμυ=diag{-(1-2GM/r),+(1-2GM/r)-1,r2,r2sinθ2}。其中τ为原时。当r→∞或者M=0时，四维的球对称弯曲空间回到四维的平直空间。注意到度规也可改写为：diag{-(1+2φ),+(1+2φ)-1,r2,r2sinθ2},其中φ=-GM/r为牛顿力学中的引力势。时空度规与引力势有关，引力几何化已初现端倪。

2.4 弯曲时空中检验粒子的运动

爱因斯坦建议，在弯曲时空中，检验粒子走短程线：xμ(λ)，也就是检验粒子的作用量为[7,8,9]：

(10)

检验粒子的运动方程(又称测地线方程)由最小作用量原理δS=0得到,等价地说，检验粒子的拉格朗日量L为：

(11)

类似公式(4)的讨论，如果我们取λ=τ,则检验粒子的等效拉格朗日量为：

(12)

等效拉格朗日量可以看作弯曲空间中的动能项。因此，在弯曲空间中，检验粒子的拉格朗日量仅含动能项与检验粒子在弯曲空间中走短程线是等价的。

需要补充说明的是，对无质量的粒子，例如光子，dτ=0,上式中的τ用仿射参数λ代替，同时要求：

=0

(13)

2.5 弯曲时空中检验粒子的运动：弱场近似

在球对称弯曲时空中，检验粒子的等效拉格朗日量为：

(14)

在弱场近似下，或者说时空弯曲不厉害的情况下，φ≪1,粒子作非相对论性运动，粒子的动能与势能同为一阶小量，以及dτ⋍dt,因此，等效拉格朗日量近似为：

(15)

即：

(16)

在弱场近似下，等效拉格朗日量由只含弯曲时空中的纯动能项退化为平直空间的动能项减去引力势能项，即经典力学中的拉格朗日量。这很好地体现了引力几何化的物理思想：在弯曲时空中,检验粒子的运动完全由时空度规决定,即由时空的弯曲程度决定。在时空弯曲不明显的情况下，例如我们在我们的太阳系中，我们并没有觉察到时空的弯曲，但是测量到了检验粒子的加速，于是正如在经典力学中所采取的措施，我们引入万有引力来解释行星的运动，正如上面的讨论，这是一个很好的近似，取得了巨大的成功。但本质上行星的运动是由太阳周围被太阳弯曲了的四维时空的性质所决定的。

2.6 弯曲时空中检验粒子的运动

(17)

代入欧拉—拉格朗日方程:

(18)

分别得到粒子在μ=t，r，θ，φ方向的运动方程：

(1)取μ=θ，得到θ方向的动力学方程：

(19)

(20)

(2)取μ=t，得到t方向的动力学方程：

(21)

对有质量的粒子来说，如果取λ=τ，积分常数E的物理含义是r=∞处粒子的单位质量的能量。

(3)取μ=r，得到r方向的动力学方程：

(22)

(4)取μ=φ，得到φ方向的动力学方程：

(23)

L的物理含义是粒子单位质量的有效角动量。

将公式(20)和(22)代入公式(21)并积分，得到：

(24)

即：

(25)

对有质量的粒子，如果取λ=τ，则：=1。对质量为零的粒子，则：=0。

小结如下，检验粒子在球对称引力场运动的四个运动积分都已经找到,它们分别是：E,L,,θ=π/2。方程(20)、(21)、(23)和(25)就是讨论球对称引力场中检验粒子(包括有质量粒子和质量为零粒子)运动的完全广义相对论性的完备方程组。下面我们定性地讨论一下广义相对论与牛顿力学的区别。

类似牛顿力学，我们采用等效势的分析方法，分析检验粒子沿着径向的运动方程：

(26)

(27)

图1 有质量检验粒子在球对称弯曲时空中在不同初始角动量L情况下的径向等效势Veff作为半径的函数Fig.1 The effective potential of the massive particles in spherically symmetric curved spacetime as a function of radii with different initial angular momenta

其中等效势中的第一项与粒子的静止质量有关，在牛顿力学中因为质量守恒，不含该项。与牛顿力学的结果相比，第四项是完全由于广义相对论效应引起的，但是第四项与第三项之比为：2GM/r。也就是说，只有当r→2GM的时候,第四项才开始占主导，广义相对论效应将变得非常重要。

对于有质量的粒子，我们可以取:λ=τ,这时：=1,径向运动的等效势为：

(28)

我们注意到，在角动量不为零，即：L≠0时,当：r→0,我们发现:Veff(r)→-∞，这与我们在牛顿力学中观测完全相反！

(29)

(30)

简单的分析表明，光子在r=3GM处，存在一个不稳定的圆轨道。

基于球对称引力场中检验粒子的基本方程，我们可以进一步讨论广义相对论的四大验证：引力红移、光线在引力场中的弯曲、水星近日点的进动以及雷达回波延迟：Shapiro延迟[7]。这里我们不再一一赘述。

3 结果和讨论

在平直空间中，不受任何外力作用的检验粒子走匀速直线运动，从最小作用量的角度,该力学系统的作用量就是给定两点之间的距离。从分析力学的角度，该力学系统的拉格朗日量就是该粒子的动能，不含势能项。在广义相对论中，引力几何化，也就是说，自然界没有万有引力这种“力”，检验粒子的运动由时空的弯曲程度决定,也就是由时空度规gμυ决定。在四维弯曲时空中，检验粒子走匀速的短程线运动，从最小作用量的角度，该物理系统的作用量就是给定两点之间的距离(“原时”)。因此，根据我们的讨论,从动力学的角度，该系统的拉格朗日量就是该粒子在弯曲时空中的纯动能项，不含所谓的引力势能项。在弱场近似下，该弯曲时空中的纯动能项近似为平直空间的动能项减去引力势能项：L=T-V。这很好地体现了引力几何化的物理思想：在弯曲时空中,检验粒子的运动完全由时空度规gμυ决定，在弱场近似下，时空弯曲程度不厉害，非常近似于平直时空，时空弯曲效果可以用引力势能φ(与规度有关)模拟。在太阳系中时空弯曲最大的地方是太阳表面，在太阳表面，用引力势φ=GM⊙/r来模拟时空弯曲效应与真正的、完全的时空弯曲效相比，误差近似为：GM⊙/R⊙c2～10-6，因此，在太阳系中,牛顿力学是广义相对论的一个很好的近似描述，在太阳系中我们只能在高于10-6的精度下找到牛顿力学和广义相对论的差别。

广义相对论预言了黑洞和引力波的存在。黑洞周围的时空程度非常厉害，这时候用牛顿引力势来模拟时空的弯曲效应带来的误差接近100%,甚至根本就完全无法描述，例如黑洞产生引力波。目前广义相对论在太阳系弱场条件下得到了很好的检验，到目前为止所有的天文观测或实验结果在误差范围之内都与广义相对论的理论预言吻合，为了在强引力场下对广义相对论进行检验，我们需要研究天体物理黑洞视界附近气体或恒星的动力学及其辐射特性，通过与天文观测对比，对广义相对论在强场下进行检验，这是目前天体物理研究中重大的、基础性课题[10,11]。