高中数学课堂引导学生说数学的几点尝试

黄清钿

（大田县第五中学，福建 大田 366100）

数学是一门抽象性、逻辑性、科学性、严密性很强的学科。一些学生由于不能很好地理解数学而没能学好数学。《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出：“数学教育承载着落实立德树人根本任务、发展素质教育的功能”“高中数学课程面向全体学生，实现：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。”怎样让学生在数学课堂里均能获得适合的数学教育呢？这是数学教师应研究的课题。笔者就此进行探索，认为引导学生说数学是学生获得高中数学教育的有效途径。

一、在数学概念教学中引导学生说数学

数学概念是数学的基础和起点，概念没有理解清楚就不能很好地理解后续的数学原理。但许多数学概念都很抽象，学生理解时常出现一知半解或者理解错误。课堂教学要让学生理解好一个数学概念，教师一般都会将概念讲得详细通俗，并举了相应的例子，学生听得明白，也可接受，但难以获得“刻骨铭心”的记忆，因为接受式的学习是被动的，没有经过学生自己大脑的思维加工，这种学习的记忆是暂时的，对知识的应用也缺乏灵活性。因此，要让学生较彻底地理解概念和灵活地应用概念，就必须让学生对所学概念经过自己大脑的思维加工，并经过出错、纠错、用对的循环过程。课堂上可以先安排学生看课本，然后提问学生阅读后对概念的见解，再根据学生的回答提出辨析式的问题让学生说，教师点评。例如，在教《函数的奇偶性》一节，可让学生先看课本中的内容，然后安排以下两个环节让学生说数学：

环节1（说阅读见解）：

师：本节内容主要讲什么？你通过阅读课文收获了什么？

生1：本节内容主要讲偶函数、奇函数的概念及其图象性质。我的收获是知道了偶函数的特点是f(-x)=f(x)，偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的特点是f(-x)=-f(x)，奇函数的图象关于原点对称。

生2：判断一个函数的奇偶性关键看f（-x）与f（x）的关系，若f(-x)=f(x)，则此函数为偶函数；若f(-x)=-f(x)，则此函数为奇函数。

环节2（说辨析式问题）：

师：多数同学都赞同前面两位同学的见解，他们的见解是不是都对呢？结合你的见解回答以下问题。

（1）y=x2，x∈［-2，3］，是偶函数还是奇函数？为什么？

生3：是偶函数，因为f(-x)=f(x)。

（2）如果函数f（x）=ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为［a-1，2a］，求a，b.

生4：因为 ，所以ax2－bx＋3a＋b=ax2＋bx＋3a＋b，得b=0，a≠0。

（3）如果函数 f（x）是定义在R 上的奇函，当 x≥0时，f（x）=x2+x，那么当x＜0时，求f（x）解析式。

生5：因为函数f（x）是定义在R上的奇函，所以，得f（x）=-x2-x。

学生在回答这几题时往往出错，主要原因是对偶函数、奇函数的定义中“对于函数f（x）定义域内任意一个x”并没有真正理解。学生判断一个函数的奇偶性往往只关注函数式是否具备f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)而忽略了定义域的对称性。对于学生的错误，教师进行讲评纠错，再让学生练习巩固。这样，学生真正理解了函数奇偶生的定义。

二、在公式定理教学中引导学生说数学

高中数学绝大多数的公式和定理是高考重点考查的内容，学生必须掌握。学生在学习公式定理时要弄清知识的来龙去脉，领会公式定理的本质，从本质上把握定理公式的内容以及其中所蕴含的数学思想方法。在公式定理的教学过程中，一些教师容易产生“一背二套、公式加例题”的形式，认为学生会套用公式定理，增加解题训练就可以掌握所学的公式定理。这种学习公式定理的方法是被动机械的，学生表面上通过训练也能解答一些相关的题型，但题型变化，题目中的条件或结论改变了，一些学生就束手无策。究其原因是学生没有弄清公式定理的来源，没有经过自己的思维推导论证，忽略了其本质所在。要让学生掌握公式定理的本质，教师在教学过程要不断设问，引导学生弄清公式定理的形成过程和蕴含的思想方法。学生在回答教师的提问中或对或错或产生新的问题，通过课堂师生互动加深了对公式定理的理解。例如，在教《等比数列的前n项和》一节，可先组织学生阅读课文10分钟，然后叫学生回答以下问题，并说出自己的想法：

（1）在国际象棋的棋盘上第1个格子里放1颗麦粒，第2个格子里放2颗麦粒，第3个格子里放4颗麦粒，第4个格子里放8颗麦粒，以此类推，那么从第1个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总和用式子怎么表示？如果一个等比数列的首项是a1，公比为q，那么这个数列的前n项和用式子怎么表示？

（2）写出等比数列的前n项和公式，这个公式是怎么推导出来的？给这种方法起一个名字。

（3）从等比数列前n项求和公式的推导过程你得到什么样的方法启示？根据这种启示你能否求出式子1＋2x＋3x2＋4x3＋…＋nxn－1之和？

学生因为已阅读了课文，对前两个问题的回答是比较顺利的，但对第（3）问的回答就没那么顺了，这要从公式的推导过程提炼出方法，有的学生不能马上悟到其中的规律。教师根据学生回答中存在的问题引导学生观察课本中等比数列求前n项和公式的推导过程，进行师生对话、启发，提炼出错位相减法，然后让学生模仿课本用错位相减法纠正解答第（3）小题中的错误。学生这样学习等比数列前n项和公式不仅能记住这个公式，还能记住错位相减法。即使以后等比数列求和公式忘记了，但错位相减法能记住，很快就可以推导出这个公式。

三、在典型例题教学中引导学生说数学

例题是教材的重要内容，是数学概念、公式、定理、原理的解释和应用，也是学生学习数学、解答数学题目的范例。例题教学的效果直接关系着学生课内外数学作业完成的好坏，所以讲好例题、用好例题是数学课教学的关键。一些教师对课本例题的处理是以讲为主，讲完之后进行变式或让学生直接进行相关的练习，这也是一种接受式的教学，学生学习例题是被动的，学生的主体地位凸显不够。对于一些典型例题如果让学生自主学习，即让学生说例题，则会收到更好的效果。做法是给出一个典型例题先让学生说出这个例题所蕴含的知识点、数学原理；说出题目的结构和解题思路；说出解题的格式、步骤；说出多种解法和题目的变式。例如，人教版必修5第一章解三角形的1.2《应用举例》的例9：在△ABC中，求证

这个例题蕴含着解三角形中的“边化角”或“角化边”的解题思想，是一个较典型的解三角形例题。在教学中可先让学生试解，然后请学生说出以下内容：

（1）说数学知识点：本例题需要用到哪些知识点？

（2）说题型解法：这是一个什么题型？要用什么方法下手？说出你的解题思路。

（3）说解题步骤：说出本例题的解题步骤，在书写格式上要注意什么？

（4）说一题多解与变式：本例题你有几种解法？请从课本或教辅书中找出3题与本例题解法相似的题目。

（5）说解题收获：对于含有三角形边角关系的题目，你的解题经验是什么？

学生在说的过程可能会说错或说得不全面，教师要进行恰当引导或提示，让学生自主总结出含有三角形边角关系式题型的解题方法——边化角或角化边。这样，学生通过做题、说题实现做一题会一类的目标。

四、在单元复习教学中引导学生说数学

复习是学生巩固所学数学知识的必不可少的学习环节。单元复习、期末复习、高考复习是高中数学教学的重要组成部分，复习课上得好，学生不仅可以很好地巩固所学的知识，而且还可提高复习效率和应用所学知识的能力。在复习课里，一些教师先对要复习的内容引导学生梳理一遍，然后讲一两个例题，最后让学生做练习，这样复习也能让学生达到复习巩固的目的，但学生的自主性不够，学生较难进入深度学习。数学学习需要将知识内化，形成一种能力，才能用所学的数学知识解决问题。复习课让学生说数学可以促进学生深度学习，提高复习效率。笔者尝试在单元复习课将学生分为每三个人一组让其去“备课”，每组三个人分别记为A、B、C。A负责备基础知识，将这节课要复习的知识点进行梳理归纳，讲给他人听；B负责备例题，选择所复习内容有代表性的典型题目进行讲解；C负责归纳所复习内容的主要题型及其解题规律进行分享。上课时每个小组学生坐在一起，按A、B、C顺序进行讲课，即每个人把自己备课的内容讲给其他两人听，接受另两人的质疑，有不同观点三人讨论解决，讨论不能解决的请教师帮忙。有时也请某一小组在班级展示，接受全班学生点评、提问。例如，人教版必修2的第四章《圆与方程》的单元复习课笔者选择了一个“备课”小组，安排2个课时让其在班级展示本组的“备课”成果（提纲部分）：

生A（说基础知识）：圆方程的两种表示；直线与圆的三种位置关系；圆与圆的五中位置关系；空间直角坐标系。

生B（说典型例题）：例1：课本P120例3求圆的方程；例2：课本P127例2求与圆相交直线的方程；例3：课本P133习题4.2A组第11题求与已知圆相切于已知点的圆的方程。

生C（说题型解法）：用圆的标准方程或一般方程求圆的方程；求与圆有关的轨迹方程（直接法、定义法、几何法、相关点代入法）；有关弦长问题（几何法、代数法）；过一点求圆的切线方程（已知点在圆上和在圆外两种情况）；判断直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系（几何法、代数法）；空间直角坐标系（图示法）。

学生在展示过程教师和其他学生要进行评议、质疑，其他组有更好的内容补充，要鼓励学生参与补充。

五、在试卷讲评教学中引导学生说数学

考试是高中数学教学的必要环节，通过考试可以了解学生阶段学习的情况，以调整下阶段的教学内容和进度。有考试就要有讲评，讲评试卷的目的是帮助学生纠错，巩固阶段所学的内容，提出下阶段学习要求。但一些教师在试卷讲评课中从第一题讲到最后一题，目的是给出试卷的各题答案及解法，未在解题能力、总结能力、反省能力等方面做一些提升工作，讲评课的效率不高。高中学生接近成年，有较强的独立思考能力和表现能力，如讲评课让学生来讲有时会收到意想不到的效果。在上讲评课之前教师要对全班试卷进行全面分析，找出学生的易错题、多错题和阶段考查的重点题，课堂上一方面指定一些“错误代表”到讲台前将自己的答卷用投影仪展示后介绍自己的错解思路和纠错情况，如果主讲学生不能说出自己的纠错情况，可求助其他同学帮忙说或请教师帮忙说；另一方面，对一些重点题则请一些优秀学生来讲评，先将其答卷用投影仪展示，然后让其说解题思路、解题方法、相似题型、变式情况。如果一个学生说不完整可安排多个学生补充或教师适时提示补充。

安排学生“讲评”试卷要事先进行布置，一是自我纠错，对试卷中的错误进行订正，分析错误原因；二是归纳总结，对试卷中做对的题及纠错过的题进行归纳总结，整理出题型类别，总结出同一题型的解题方法；三是变式延伸，对试卷中的重点题进行变式延伸，联想相关知识、相关题型。这三项任务可让学生课前完成，也可安排一节课指导学生完成，第二节课再让学生展示研究成果。展示时应先让学生在前后桌的三四人小组中交流，教师巡视，然后选择有代表性的学生上台展示，师生点评。