“矢量三角形”在高中物理力学中的妙用

湖南 陈 锋

在高中物理力学部分的习题中，通常会遇到缓慢移动的准静态平衡问题，讨论力的变化情况，若采用正交分解法得出变力的函数关系式进行讨论，对数学要求高，往往陷入复杂的数学运算，甚至不能得出结果。结合力学的特点，本文介绍了“矢量三角形”在这类问题中的妙用，非常形象、直观的揭示了问题的本质，学生容易掌握，更能熟练运用，颇受青睐。

题型一、矢量三角形

【示例】用细绳AO、BO悬挂一重物，BO水平，O为半圆形支架的圆心，悬点A和B在支架上。悬点A固定不动，将悬点B从图1甲所示位置逐渐移到C点的过程中，试分析OA绳和OB绳中的拉力变化情况。

图1

【解析】结点O在三段细绳的拉力作用下处于平衡状态，在悬点B从图1甲所示位置逐渐移到C点的过程中，结点O一直处于静止状态，所受合力为零。若用正交分解法来求解OA绳和OB绳中的拉力变化情况，需要用到三角函数的相关知识，对数学要求较高，原则上是能得出最终的结果，但不直观。若将FA、FB进行平移与G必将构成矢量三角形，如图1乙所示，在支架上选取三个点B1、B2、B3，当悬点B分别移动到B1、B2、B3各点时，BO中的拉力分别为FB1、FB2、FB3，从图中可以直观地看出，FA逐渐变小，且方向不变；而FB先变小，当FB与FA垂直时，FB最小，然后FB又逐渐增大，且方向不断改变。

【题型特点】结点O受三个力作用而一直处于平衡状态，其中一个力是恒力(一般为重力)，另一个力的方向不变，第三个力的大小、方向都在变化，但三个力的合力始终为零，构成的矢量三角形在不断变化，因此，根据矢量三角形的边长变化能直接反映力的大小变化，从而直观的解决问题。此法常称之为“矢量三角形法”。

题型二、相似三角形

【示例】如图2甲所示，一光滑半球固定在水平面上，在其球心O的正上方固定一个小定滑轮，细线的一端拴一小球，另一端绕过定滑轮．如果缓慢地将小球从A点拉到B点，则在此过程中，试分析小球受到半球对它的支持力FN、细线的拉力FT如何变化？

图2

【解析】小球在被拉动的过程中，受重力G、球面的支持力FN、绳子的拉力FT。由于这是一个动态平衡过程，虽然小球所受的重力保持不变，但拉力和支持力应该是变化的，但这不过只是一种感觉而已，要判断它们的变化特点，还得先确定它们的大小与哪些因素有关。

【题型特点】小球受三个力的作用而一直处于平衡状态，其中一个力是恒力(一般为重力)，另外两个力的方向均在变化，但三个力构成的矢量三角形与图中由某些空间边长构成的几何三角形相似，运用相似比很容易得出力的变化情况。此法常称之为“相似三角形法”。

题型三、三角圆

图3

【解析】重物向右上方缓慢拉起的过程中，受到重力G、轻绳MN的拉力FN和轻绳OM的拉力FM而处于平衡状态，这三个力的合力为零。若将FN和FM正交分解来讨论它们的变化情况，必将陷入复杂的数学运算，很难得到最终结果；若采用正弦定理和三角函数进行讨论可以求得结果，但不直观。而将重物受到的三个力进行平移，构成矢量三角形，结合本题的特点：(1)保持轻绳MN和轻绳OM的夹角α不变，那么矢量三角形中FN和FM的夹角一直为(π-α)，如图3乙所示，(2)重力G对应矢量三角形中的这条边长不变；综合(1)(2)特点本题符合平面几何圆中的弦长一定，其对应的圆周角保持不变的性质。因此，以O为圆心，以某一长度为半径作一圆，用重力G表示定弦。取缓慢拉动过程中的①(轻绳MN水平)、②、③(轻绳OM水平)位置进行分析，做出对应的矢量三角形，满足由FN和FM构成的顶角在圆周上移动时，定弦G对应的圆周角不变。初始时，FM=G；位置①时FM过圆心最大，从图中可以直观看出，FM先增大后减小；FN一直增大，位置③时FN过圆心最大。

【题型特点】重物受三个力的作用而一直处于平衡状态，其中一个力是恒力(一般为重力)，另外两个力均在变化，但这两个力的方向所夹的角度保持不变，运用“三角圆”能直观的演示这两个力的变化情况。此法常称之为“三角圆法”。