电场中的图象问题及其求解策略

河北 陈宝友(特级教师)

图象在中学物理中应用广泛，是分析物理问题的有效手段之一。物理图象蕴含的信息，主要体现在图象的坐标原点、纵横坐标轴、截距、斜率、所围面积、图象交点等方面的物理意义，其实掌握图象的上述特点，理解其斜率、截距、面积对应的物理意义，就能顺利解决有关问题。一般关于电场中的图象问题，主要表现在如下几种情况，我们分别进行讨论。

一、电场线图和等势面图

电场线和等势面有如下特点：等势线和电场线互相垂直；等势线密的部分电场强度大；电势沿着电场线越来越低。当带电粒子只在电场力作用下运动时，如果给出了粒子运动的速度图象，则从速度图象上能确定粒子运动的加速度方向，加速度大小变化情况，进而可将粒子运动中经历的各点的场强方向、场强大小、电势高低及电势能的变化等情况判定出来。

【例1】如图1所示，在平面直角坐标系xOy内，固定有A、B、C、D四个带电荷量均为Q的点电荷，它们关于两坐标轴对称，其中A、B带正电，C、D带负电，它们产生电场的等势面如图1中虚线所示，坐标轴上abcd是图中正方形的四个顶点，则

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图1

A.将电子沿路径a→b→c移动，电场力先做负功，后做正功

B.将电子沿路径a→O→c移动，电场力做正功

C.b、d两点场强相同，电势不相等

D.b、d两点电势相等，场强不相等

【解析】将电子沿路径a→b→c移动，电场力先做正功，后做负功，选项A错误；电子沿路径a→O→c移动，电场力不做功，选项B错误；根据对称性可知b、d两点场强大小相等，方向相同，则场强相同，b、d两点电场线由b指向d，故b点电势高于d点电势，选项C正确，选项D错误。故本题选C。

【变式】如图2所示，实线为电视机显像管聚焦电场中的等势面。a、b、c、d为圆上的四个点，则下列说法中正确的是

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图2

A.a、b、c、d四点电势不等，但电场强度相同

B.一电子从b点运动到c点，电场力做的功为0.8 eV

C.若一电子从左侧沿中心轴线穿越电场区域，将做加速度先减小后增加的直线运动

D.一束电子从左侧平行于中心轴线进入电场区域，将会从右侧平行于中心轴线穿出

【解析】根据题意，a、b两点电势相等，c、d两点电势相等，由等势面与电场线垂直的关系及电场强度方向与该点的切线方向一致，则它们的电场强度方向不同，故A错误；电子从b点运动到c点，电势差Ubc=φb-φc=0.1 V-0.9 V=-0.8 V，而电子带负电，则电场力做功为0.8 eV，故B正确；若电子从左侧沿中心轴线穿越电场区域，根据等势面疏密程度，可知电场线的疏密程度，从而可确定电场力先增大后减小，所以加速度先增大后减小，故C错误；当一束电子从左侧平行于中心轴线进入电场区域，根据曲线运动条件运动轨迹向合力方向偏，因此只有在中心轴线的电子沿直线运动，从右侧平行于中心轴线穿出，其余做曲线运动并向中心轴线汇聚，故D正确，本题正确答案为BD。

二、电场中粒子运动的v - t图象

根据v-t图象的速度变化、斜率变化(即加速度大小的变化),确定电荷所受电场力的方向与电场力的大小变化情况,进而确定电场的方向、电势的高低及电势能的变化。

【例2】一带正电的试探电荷，仅在电场力作用下沿x轴从x=-∞向x=+∞运动，其速度v随位置x变化的图象如图3所示。在x=x1和x=-x1处，图象切线的斜率绝对值相等且最大。则在x轴上

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图3

A.x=x1和x=-x1两处，电场强度相同

B.x=x1和x=-x1两处，电场强度最大

C.x=0处电势最低

D.从x=x1运动到x=+∞过程中，电荷的电势能逐渐减小

【解析】本题可以根据速度的变化，判断电荷所受的电场力方向，确定电场线的方向。同时根据速度图象的斜率决定电场强度大小，分析加速度，由牛顿第二定律分析电场强度。最后根据电场力做功的正负，分析电势能如何变化。

由题可知，带正电的试探电荷仅在电场力作用下沿x轴从x=-∞向x=+∞运动，速度先减小后增大，所受的电场力先沿-x轴方向，后沿+x轴方向，电场线方向先沿-x轴方向，后沿+x轴方向，则知x=x1和x=-x1两处，电场强度的方向相反，电场强度不同，故A错误。

由v-t图象的斜率决定电场强度的大小，x=x1和x=-x1,两处斜率最大，则电荷的电场强度最大，故B正确。

由以上分析可知，电场线方向先沿-x轴方向，后沿+x轴方向，根据顺着电场线方向电势降低可知，电势先升高后降低，则x=0处电势最大，故C错误。

从x=x1运动到x=+∞过程中，电场力沿+x轴方向，则电场力做正功，电荷的电势能逐渐减小，故D正确。

【变式】如图4，直线MN表示某电场中一条电场线，a、b是线上的两点，将一带负电荷的粒子从a点处由静止释放，粒子从a运动到b过程中的v-t图象如图5所示，设a、b两点的电势分别为φa、φb，场强大小分别为Ea、Eb，粒子在a、b两点的电势能分别为Epa、Epb，不计重力，则有

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图4 图5

A．φa>φbB．Ea>Eb

C.EaEpb

【解析】由图5可知，粒子做加速度减小，速度增大的加速运动，故可知从a到b电场强度减小，粒子动能增大，电势能减小，电场力方向由a指向b，电场线方向由b指向a，b点电势高于a点电势，故正确答案为BD。

三、电场中的E - x图象问题

E-x图象反映电场强度随位移变化的规律：E>0表示场强沿x轴正方向，E<0表示场强沿x轴负方向；图线与x轴围成的“面积”表示电势差，“面积”大小表示电势差大小，两点的电势高低根据电场方向判定。在与粒子运动相结合的题目中，可进一步确定粒子的电性、动能变化、电势能变化等情况。

为了帮助大家能够定性了解电场中的E-x图象问题，我们不妨以等量正电荷中垂线上的各点的场强为例来看，显然两个点电荷连线的中点场强为0，而无穷远处场强也为0，但是中垂线上的各点的场强并不都为0，在其中某点场强出现了最大值，因此其电场的E-x图象即为如图6所示。从图象可以看出，x2点的场强最大，x1和-x1处场强等大反向，故O点的电势最高；由于x1和-x1两点关于x轴对称，且电场强度的大小也相等，故从O点到x1和从O点到-x1电势降落相等，故x1和-x1两点的电势相等；x1和x3两点的电场强度相等，但是x1和x3这段图线与x轴所围成的“面积”大于0，故x1点的电势比x3点要高。

图6

此类问题的关键在于沿着电场强度的方向，电势一定降低；然后结合图象得到电场强度的分布情况，再分析电势变化情况即可解决。

【例3】静电场在x轴上的场强E随x的变化关系如图7所示，x轴正向为场强正方向，带正电的点电荷沿x轴运动，则点电荷

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图7

A.在x2和x4处电势能相等

B.由x1运动到x3的过程中电势能增大

C.由x1运动到x4的过程中电场力先增大后减小

D.由x1运动到x4的过程中电场力先减小后增大

【解析】由图象可知，将正电荷沿x轴正向移动，电场力沿x轴负方向，从x2移动到x4的过程电场力做功不为零，两点电势能不相等，A项错误；从x1移动到x3的过程电场力沿x轴负方向，电场力做负功，电势能增大，B项正确；从x1到x4的过程场强先增大后减小，所以电场力先增大后减小，C项正确；D项错误。本题正确答案为BC。

【变式】如图8所示，真空中有一半径为R、带电荷量为+Q的均匀带电球体，以球心为坐标原点，沿半径方向建立x轴。理论分析表明，x轴上各点的场强随x变化关系如图9所示(场强为正值表示方向沿x轴正方向)，则下列说法正确的是

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图8

B．球内部的电场为匀强电场

C．x1、x2两点处的电势相同

D．假设将一带正电的试探电荷沿x轴移动，则从x1移动到x2的过程中，电势能先减小后增大

图9

四、电场中的φ - x图象

【例4】空间某一静电场的电势φ在x轴上分布如图10所示，x轴上两点B、C的电场强度在x方向上的分量分别是EBx、ECx。下列说法正确的是

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图10

A．EBx的大小大于ECx的大小

B．EBx的方向沿x轴正方向

C．电荷在O点受到的电场力在x轴方向上的分量最大

D．负电荷沿x轴从B移到C的过程中，电场力先做正功，后做负功

【解析】在φ-x图象中，图线斜率表示场强大小。结合题中图象特点可知EBx>ECx，EOx=0，故A项正确，C错误；根据电场中沿着电场线的方向电势逐渐降低可知EBx沿x轴负方向，B项错误；负电荷在正x轴上受电场力沿x轴负方向，在负x轴上受电场力沿x轴正方向，故可判断负电荷从B移到C的过程中，电场力先做正功后做负功，D项正确。本题正确答案为AD。

【例5】两电荷量分别为q1和q2的点电荷放在x轴上的O、M两点，两电荷连线上各点电势φ随x变化的关系如图11所示，其中A、N两点的电势为零，ND段中C点电势最高，则

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图11

A．C点的电场强度大小为零

B．A点的电场强度大小为零

C．NC间场强方向向x轴正方向

D．将一负点电荷从N点移到D点，电场力先做正功后做负功

【解析】在匀强电场中，场强与电势存在关系，那么根据各点的电势φ随x变化的关系容易判断其斜率反映的是场强的大小，而C点斜率为0，显然C点的电场强度大小为零，即选项A正确，而选项B错误。由图线可以看出，NC间电势随x的增加而增加，根据场强的方向就是电场线的方向，则NC间场强方向应该向x轴负方向，即选项C错误。进一步观察可以发现，从N点到D点，电势先升高后降低，故将一负点电荷从N点移到D点，电场力先做正功后做负功，选项D正确，本题正确答案为AD。

电场中场强与电势的关系是电场中的重要知识点，学生往往对匀强电场比较熟悉，而对本题中的非匀强电场比较陌生，尤其是有许多学生到现在一直认为场强大，电势就高，反之亦然，而实际上这是绝对错误的！场强反映的是电势变化的快慢，场强的方向就是电势降落最快的方向，即沿着电场线方向电势是降低的，但是本题万万不能去看图象的斜率，那样极易误选C选项。

【变式】一静电场沿x坐标轴方向的电势分布如图12所示，则

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图12

A．在x1～x2之间存在着沿x轴正方向的匀强电场

B．在x1～x2之间存在着沿x轴正方向逐渐增强的电场

C．在x1～x2之间沿x轴方向电场强度为零

D．在x1～x2之间存在着沿x轴负方向的匀强电场

【解析】根据图象可知，图象的斜率表示电场强度的大小，因此在x1～x2之间，斜率不变，所以电场强度大小不变，再根据沿着电场线的方向，电势降低，则在x1～x2之间电场强度的方向与x轴负方向相同，故D正确，ABC错误；故选D。

(1)固定在A处电荷的电荷量QA；

(2)为了使小物块能够到达x=2L处，试讨论小物块与水平面间的动摩擦因数μ所满足的条件；

(4)试画出μ取值不同的情况下，物块在AB之间运动大致的速度—时间关系图象。

图13 图14

【解析】(1)由图14得，x=L点为图线的最低点，切线斜率为零，即合场强E合=0

解出QA=4Q。

(2)物块先做加速运动再做减速运动，到达x=2L处速度vt≥0

从x=-2L到x=2L过程中，由动能定理得

(3)小物块运动速度最大时，电场力与摩擦力的合力为零，设该位置离A点的距离为lA，则

解得lA=3L，即小物块运动到x=0时速度最大。

(4)物块在AB之间运动大致的速度—时间关系图象可能为

【变式】静电场方向平行于x轴，其电势φ随x的分布如图15所示，图中φ0和d为已知量。一个带负电的粒子在电场中以x=0为中心、沿x轴方向做周期性运动。已知该粒子质量为m、电荷量为-q，其动能与电势能之和为-E(0

图15

(1)粒子所受电场力的大小；

(2)粒子离中心的最大距离；

(3)粒子的运动周期。

五、电场中的Ep - x图象

由于Ep=qφ，实际上电场中的Ep-x图象与φ-x图象类似，只是需要特别注意电荷的正负。此类问题往往以图象的形式考查静电场的场强、电势、电势能等相关知识；解决问题的关键仍然需要分析图象斜率的物理意义，判断电势和场强的变化，再根据力学基本规律牛顿第二定律进行分析电荷的运动情况。

【例7】一带电粒子在电场中仅受静电力作用，做初速度为零的直线运动。取该直线为x轴，起始点O为坐标原点，其电势能Ep与位移x的关系如图16所示，下列图象中合理的是

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图16

A.电场强度与位移关系 B.粒子动能与位移关系

C.粒子速度与位移关系 D.粒子加速度与位移关系

【解析】由Ep-x图象可知，带电粒子在电场中运动时，其电势能的变化规律是非线性的。带电粒子的电势能不是均匀变化的，故电场力不能为恒力，故选项A错误；带电粒子仅受静电力作用，故电势能和动能相互转化，电势能的减少量等于动能的增加量，即动能增加得越来越慢，故选项BC错误；由于静电力不是恒力，加速度a应该越来越小，选项D正确。

【例8】一带负电的粒子只在电场力作用下沿x轴正向运动，其电势能Ep随位移x变化的关系如图17所示，其中O～x2段是对称的曲线，x2～x3段是直线，则下列说法正确的是

( )

图17

A．x1处电场强度为零

B．x2～x3段是匀强电场

C．x1、x2、x3处电势φ1、φ2、φ3的关系为φ1>φ2>φ3

D．粒子在O～x2段做匀变速运动，x2～x3段做匀速直线运动

【解析】因为从O～x1负电荷电势能减小，故电势升高，电场线由x1指向O点，同理在x1到x3区域电场线由x1指向x3，可知x1处电场强度为零，选项A正确；x2～x3段斜率不变，场强不变，即电场强度大小和方向均不变，是匀强电场，粒子所受的电场力不变，做匀变速直线运动，故B正确，D错误；由于在x1到x3区域电场线由x1指向x3，顺着电场线电势降低，所以有φ1>φ2>φ3，故C正确；因电势能Ep随位移x变化的关系图线的斜率等于场强，可知在O～x1段图象切线的斜率不断减小，场强减小，粒子所受的电场力减小，加速度减小，做非匀变速运动。x1～x2段图象切线的斜率不断增大，场强增大，粒子所受的电场力增大，做非匀变速运动，故ABC选项正确。

【变式】如图18所示，A、B为某电场中一条直线上的两个点，现将正点电荷从A点静止释放，仅在电场力作用下运动一段距离到达B点，其电势能Ep随位移x的变化关系如图19。从A到B过程中，下列说法中正确的是

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图18

图19

A．电场力对电荷一直做正功

B．电势一直升高

C．电荷所受电场力先减小后增大

D．电荷所受电场力先增大后减小