数形结合思想在高中数学解题中的应用

钟健健

数形结合，顾名思义，就是将抽象的、难理解的数学语言和具体的、直观的图形结合起来.具体到高中数学中，数形结合是一种很常见且重要的解题方法.通过这种方法，可以将代数问题转化为几何问题，或者将几何问题转化为代数问题，使抽象的、复杂的数学问题变得具体化、简单化.运用数形结合思想，不仅有助于把握问题的本质，还能够培养学生整合所学知识解决问题的能力，有助于培养他们的创新思维、逻辑思维.因此，在高中数学教学中，教师要注重培养学生的数形结合思想，并让他们运用这一思想来理清解题思路、简化解題过程.

一、数形结合思想概述

“数”和“形”是高中数学中两个最基本的概念，这两个基本概念搭建了高中数学的基石.具体来说，“数”是抽象的数量关系，“形”是具体的空间形式.在高中数学中，主要是对“数”和“形”的研究.二者是相互联系、相互渗透的.在一定的条件下，“数”和“形”可以相互转化，这种转化就是把数量关系转化为几何图形，或者把几何图形转化为数量关系.如果学生运用数形结合思想来解决数学问题，就能够了解和掌握问题的本质，顺利找到解题方法，大大提高解题效率.

二、数形结合思想在高中数学解题中的应用

虽然数形结合思想是解决高中数学问题的一个基本的、常用的思想，但是并非高中阶段的所有数学知识都与数形结合思想有关.而学生要想运用这一思想来解决数学问题，就必须了解它与哪些知识有关，这样在遇到数学问题时就能确定需不需要利用数形结合思想.整理和分析高中数学知识后可以发现，与数形结合思想相关的内容包括五个方面，一是实数与数轴上对应点的关系；二是函数与图像的对应关系；三是曲线与方程的对应关系；四是类似于三角函数等以几何元素或几何背景为基础建立起来的概念；五是数学问题中出现的代数式或者等式带有明显的几何特征，如斜率.

以上是对高中数学知识中与数形结合思想有关的内容的大体概括.下面，将通过具体例子来分析这一思想在高中数学解题中的应用.

1.运用数形结合思想来解决集合问题.

集合是高中数学中非常基础的知识.为了便于学生理解集合中的交集、并集、补集等概念，通常教师会借助图形来讲解这些知识.具体来说，就是用圆形代表一个集合.如果两个或者几个圆之间有交叉部分，说明两个或者几个集合之间是有公共元素的；如果没有交叉部分，则表明集合之间没有公共元素.因此，在解决集合问题时需要运用数形结合思想.比如，假设有两个集合分别为M={（x，y）|x2+y2=1，x∈R，y∈R}，N={（x，y）|x2-y=0，x∈R，y∈R}，则集合M∩N中元素的个数为多少？通过观察可以知道，集合M中是表示圆的方程，集合N中是表示抛物线的方程，因此，只要在坐标系中画出这两个方程对应的图像，就可以从两个图像的交点得出集合M∩N有几个元素了.

2.运用数形结合思想解决函数问题.

函数知识贯穿于高中阶段的数学中，是高中数学教材中非常重要的一部分知识，它具有跨度大、范围广、难理解的特点.不少学生觉得学习函数有很大的难度，解决函数问题更是难上加难.事实上，函数不仅有表达式，还有对应的图像.因此，学生在解决这类数学问题时，就可以利用相关的图形.比如，在比较某几个数值的大小时，可以将数值转化为不同的函数的值，然后根据函数画出相应的图像，这样就能够直观、准确地判断出几个数值的大小.

3.数形结合思想在不等式中的应用.

与函数一样，不等式也是高中数学中一个非常重要的知识点.学生在平时练习或者考试中遇到的大多是不等式.因此，需要重视数形结合思想在不等式中的应用.比如，学生常常会遇到求某一个一元二次不等式的解集的问题.其实，在遇到这类问题时，可运用数形结合思想来分析问题：通过画二次函数图像来确定其开口方向，并根据图像与x轴的交点情况来得到一元二次不等式的解集.

本文在对数形结合思想进行简单介绍的基础上，从三个方面探讨了其在高中数学解题中的应用.由于篇幅有限，在这里不能囊括所有与数形结合思想相关的内容.通过“数”和“形”的结合，学生能够对问题有更清晰、更透彻的理解，也能将复杂的、抽象的问题变得简单、具体、形象.让学生学会用数形结合思想来解决数学问题，不仅能够帮助他们整合和巩固所学的知识，还能够提高他们对问题的分析能力、理解能力，促进他们创新思维和逻辑思维的发展.