从德雷克方程看费米悖论

陈厚尊

德雷克方程，又叫萨根公式，是著名的美国天文学家弗兰克·德雷克（Frank Drake）于20世纪60年代在绿岸镇提出的一个用以估计银河系内可能与我们接触的高等智慧文明数目的公式。后来，康奈尔大学的天文学家卡尔·萨根（Carl Sagan）也在自己的著作中研究了此方程。这在某种程度上提升了德雷克方程在民众间的知名度。最初版本的德雷克方程是如下形式的六个因子的乘积：

g=Gfpneflfifc

其中g是我们感兴趣的，它是高等智慧文明的“平均产生率”，代表了每年银河系诞生的文明数目;G是银河系的恒星形成率;fp是拥有行星的恒星比例;ne是每颗恒星周围可能具有的类地行星的数量;fl是类地行星上有生物的比例;fi是生物进化为智慧文明的比例;fc是智慧文明中具备向外发送信息能力（比如无线电通信）的比例。值得注意的是，这些因子是按照人们对其认知的深度依次排列的。G是天文学家最了解的一项。银河系的恒星形成率为每年1倍至2倍太阳质量。依照新生恒星的质量不同，相应的G值为1～7。fp因子在德雷克的时代尚没有很好的估计，进入21世纪以来，随着开普勒卫星的升空，一大批新的系外行星被发现，据此给出的fp在0.05～0.2之间。接下来，ne大小的估计目前存在很大问题，因为一颗行星能否被判定为类地行星取决于多方面的因素。以太阳系为例，你可以认为只有1颗类地行星（地球），也可以认为有3颗（金星、地球、火星），这取决于你的标准。标准越严苛，限制因素也越多，ne的值就越小，比如行星的轨道偏心率、行星的理想质量、是否有大个的天然卫星、是否有巨行星帮忙清空小天体、理想的黄赤交角……类似的标准要多少有多少。至于后面3个因子，人们对其知之甚少，不同的人从不同角度出发，给出的估计相差甚远。更糟糕的是，单看后面的4个因子，每一个似乎都是个“迷你版”的德雷克方程，对它们的解读和估计引发了许多争议。这在某种程度上削弱了德雷克方程的科学价值。面对质疑，德雷克辩解说这个方程的意义在于“将我们的无知条理化”。但是我们注意到，德雷克方程成立的前提是各因子在统计学上彼此独立，互不相干。而这不太符合实际情况。举例而言，一些星暴星系（Starburst Galaxy）可以有很高的恒星形成率G（数百倍于银河系），导致高能射线充斥星系内部，从而显著降低ne或者fl因子的值。

但是在笔者看来，德雷克方程的科学价值不仅限于其数学形式，更在于它提出了一个“智慧文明平均产生率g”的统计学概念。将g乘以智慧文明的平均寿命L，可以得到任意时刻银河系的智慧文明数目N。而N的估计值与所谓的费米悖论（Fermi Paradox）有关。后者指出，假如银河系智慧文明的数目N足够大，那么以银河系如此古老的年龄，足够这些文明扩张到星系的每个角落。然而事实并非如此。20世纪上马的一系列地外文明搜寻项目（例如SETI）无一例外都证实了我们在宇宙中是孤独的。这说明银河系的智慧文明数目N比原先预想的要少。根据德雷克方程，这说明要么智慧文明的平均寿命L很短，要么银河系的文明产生率g很低，或者二者兼有。有一个被称为大筛子（the Great Filter）的假说就专注于研究德雷克方程中的小量因子问题。这个假说认为，假如g是个小量，那么L有可能不是小量，也就是说人类文明的前途可以是光明的;反之，假如g不是小量，那么L一定是小量，人类文明的前途必定堪忧。

假如我们明天就收到了外星人回复我们的问候信息，我们会相当确信他们来自55光年以内，因为人类使用无线电的历史只有110年。所以，如果我们收到了外星人的信号，说明他们意识到了我们的存在，并很快回复了信息。另一方面，并没有理由认为地球在银河系里的位置有多特殊，所以，这意味着我们星系的智慧文明密度大致为55光年3的范围内有一个。换算到银河系的尺度（可以将银河系视作一个半径5万光年，高1000光年的扁平圆柱体），差不多有6000万个智慧文明。这数字看起来令人难以置信，但假如明天一早我们真的收到了外星人的问候信息，这个结论就是可靠的。不过，即使是最乐观的估计，德雷克方程中的N的上限也远远达不到千万量级。这差不多就解释了为何到今天我们仍没有与外星文明建立友好关系。

美国天体物理学家弗兰克· 德雷克。他是2 0 世纪6 0 年代阿雷西博天文台扩建计划的发起人，也是1 9 7 4 年著名的“阿雷西博信息”的创造者。

类似的分析促使我们站在一个更加理性、更加简明的角度来审视德雷克方程与费米悖论的关系。简单总结一下就是，某一时刻银河系内发生智慧文明间的交流事件需满足两大基本条件：第一，N的值要大于2，这一条不言而喻，因为银河系中至少要有另一个文明陪我们聊天才行;第二，智慧文明间一次对话所需的时间要比智慧文明的平均寿命L短，否则交流尚未完成，就有一个文明先行灭亡了。除此以外，或许你还能想到其他什么限定条件。不可否认的是，从平均的角度而言，以上两个条件的确是人类与外星人建立交流的必要不充分条件。

我们先来看一号条件。该条件限定了银河系智慧文明的产生率g与智慧文明的平均寿命L之间至少应该满足一个反比例关系，也就是说，g很小的时候L应该很大，g变大的时候L应该减小。这与我们的直觉是相符的。二号条件要稍微复杂些，但是经过一番初等的数学推导不难看出，g应该与L的立方成反比例关系（此处笔者建议有兴趣的读者亲自动笔算一算，可以假设银河系是个扁平的圆盘）。这是个十分有趣的结论：假如g非常小，那么L就会很大，L的立方就更大。此时，二号条件是容易被满足的，相对重要的是一号条件。反之，如果g比较大，L就可以变小，L的立方减小更快，此时二号条件开始变得重要起来，一号条件则相对容易被满足。这两种情况发生转换的时候称为临界点，也就是一号条件与二号条件同等重要的时候，此时对应的g约为0.000 03，十万分之三，也就是银河系中平均每10万年产生3个智慧文明，相应的L值约为65 000年。换句话说，如果银河系的g值大于十万分之三，那么二号条件占主导;如果g小于十万分之三，则一号条件占主导。另一方面，通过分析前面的德雷克方程，我们知道了g的数值存在一个上限，即银河系的恒星形成率G与拥有行星的恒星比例因子fp的乘積。据此我们断定，若要银河系的智慧文明间能够接触到彼此，文明的平均寿命L必须存在一个下限，这个下限可以通过将g的上限值1.4代入二号条件算得。

美国天文学家、科幻小说作家卡尔·萨根。他是天体生物学领域的先驱， 也是著名的地外智慧生物搜寻项目（ S E T I ）的创始人之一。他的科幻小说《接触》曾获得1 9 9 8 年度的雨果奖。

L的下限约为2000年。

这是个非常重要的结论，通俗一点的解释就是，若要银河系的智慧文明发生星际接触，其各自的寿命必须大于2000年，否则它们会有很大的概率错过彼此。让我打个比方来帮助读者理解上面的结论。设想你的周围是一片伸手不见五指的黑暗，这黑暗浓稠而压抑，在空间和时间上都无限延展。自然和自然的定律都隐没于黑暗中，无人问津。忽然，一点微弱的智慧荧光浮现出来，像一只萤火虫那样，亮了一会儿便熄灭了。接着是第二点熒光，第三点荧光……它们都只是亮一会儿就灭了。假设你也是一只能短暂发光的萤火虫，飞蛾扑火般燃烧自己，凭着一次微弱的闪光，给无尽的黑暗拍了一张照片。照片上可能有其他萤火虫留下的痕迹，也可能什么都没有。如果你周围的萤火虫足够多，或者每只萤火虫发光的时间足够长，都会更容易被你拍到。但是，考虑到光速是有限的，每只萤火虫的发光时间不能少于某个下限，否则再多的萤火虫也难在底片上留下痕迹。在这个比喻下，银河系的智慧文明就像这些萤火虫一样，是无尽黑暗中的一些小光点。

于是，问题的关键就从文明的产生率g转移到了平均寿命L上来。这里应当先澄清一点：从宇宙的角度看，一个文明的寿命应当从其掌握了星际交流技术的时刻算起。从这个意义上讲，人类文明的诞生标志应当是马可尼发明无线电技术——至今不过百余年。所以我们接下来要关心的问题变成了：人类文明究竟有多大的可能性存活到1900年后？

估算银河系智慧文明的平均寿命L，无异于预言人类文明会何时何地因何灭亡。这是个千古之谜，也是一个令人无从下手的问题。我并不打算从政治、能源或者经济学入手旁征博引，下笔万言。那样做不仅超出了我的能力，也不符合本文的立意。因此，我打算另辟蹊径，用一种被称为“自我抽样假设”的数学原理粗略估计人类文明可能的寿命范围。

无线电通信技术的发明者古列尔莫· 马可尼， 意大利工程师。1 9 0 1 年， 马可尼的研究小组第一次实现了跨大西洋的无线电传输。1 9 0 9 年获诺贝尔物理学奖。

什么是自我抽样假设呢？顾名思义，自我抽样就是在没有其他样本的情况下，将自己当作一个最普通的样本，然后用统计学的手段推己及人，复原出整体可能具有的性质。自我抽样假设依据的原理是哥白尼原理，特别适用于样本匮乏的情况。本例就是如此。我作为一个典型的人类个体，不可能站在四维时空的角度俯瞰人类文明整体的兴衰（那是上帝的事情）。所以，我不妨将过去、现在和未来所有出生过和即将出生的人看成是一列队伍，那么，我应该出现在这列队伍的什么位置呢？根据哥白尼原理，既然我是一个最普通的个体，那么我在这列队伍中的位置应该是没什么偏好的，遵从数学上的等概率分布。假设这列队伍有100人，那么我断定我将有90%的可能出现在队伍的第6名到第95名。根据人类学家的估算，地球上已出生的人口约为1000亿（不同研究结果可能会有数值上的差异，我们这里只关心数量级），也就是说，我出现在这列队伍的第1000亿名。于是，只需做一个简单的除法运算，我就可以断定这列队伍的规模有90%的可能性落在1053亿至20000亿之间。于是，排在我后面出生的人口数有90%的可能性落在53亿至19 000亿之间，换句话说就是，当第20000亿个人去世的时候，人类文明有95%的可能性会灭亡。

这是一个多么令人瞠目结舌的结论！我们没有用到任何复杂的学科知识，甚至没有钻研人类文明发展的细节，就直接预言了它的灭亡概率！自我抽样假设的确是一个神奇的假定，它往往能帮助我们摆脱直觉的束缚，揭露问题的本质。如果你还心存疑虑，不如回想一下自己：为什么你不是汉朝人，也不是什么银河帝国的公民，而偏偏出生在“二战”结束后世界人口爆炸的时代？为什么你是中国人而不是瑞士人？为什么你是汉族而不是鄂伦春族？这难道是巧合吗？当然，如果你真的是鄂伦春族，自我抽样假设也没有失去价值，因为你可能已经注意到，它得出的任何结论并非百分百可靠，而是有一个成立的概率。

所以接下来，我们只需估算一下1900年内会有多少人出生就够了。这个问题虽然也很困难，但总还是可以做一些保守估计的。第一，假设人类在未来的1900年内都没能星际殖民，全部龟缩在地球上;第二，假设人类在未来的1900年内发展的科技没能显著提升地球的环境承载力，全球人口稳定在200亿左右;第三，假设人类在未来的1900年内没有发生大规模战争，也没有婴儿潮补充死去的人口，出生率和死亡率都稳定在7.5‰左右，以保证人口总数的稳定。据此三条，可算得未来出生人口总数差不多是3000亿。也就是说，我会落在百人队伍的第25名。因此，即使是最保守的估计，人类文明也会有75%的可能性在1900年内灭亡。换句话说，人类文明的寿命有非常大的可能性低于2000年。此时，我们再用一次自我抽样假设，将人类文明作为一个典型样本，推而广之得出结论，银河系智慧文明的平均寿命L有很大可能是低于2000年的。

所以，当人类文明的火焰划过这漫漫长夜，最终获得的很可能只是一张纯黑的底片。但是，这不能证明我们的宇宙自始至终没有一丝光明。恩里克·费米的一声诘问：它们究竟在哪儿？也许10万年后，另一个转瞬即逝的外星文明中也会有一位同样伟大的智者，面对猎户旋臂的方向发出一声注定不再有人回应的诘问：你们究竟在哪儿？

智慧文明存在的意义究竟是什么？我们终将无法知晓这个问题的答案。