“电路”课程中“相量法的引入”教学设计与实践

黄 辉， 黄鲁晨， 刘晓宇

(北京交通大学 电气工程学院， 北京 100044)

0 引言

“电路”课程是电子、信息类专业的重要技术基础课程，也是“模拟电子技术”、“电力电子学”等后续课程的理论基础。其中，正弦稳态电路的分析是本课程的重要组成部分，而相量法作为线性电路正弦稳态分析中的最常用的简单易行的方法，无疑是需要学生着重理解和掌握的重要内容。但是，即便完成了这部分学习、掌握了相关知识点或者能够顺利分析计算正弦稳态响应之后，学生却难以回答这样的问题：“为什么要用相量法求解正弦稳态响应？”“相量法的使用范围是什么？”“为什么有电压电流相量，却没有功率相量？”这说明如果课堂教学仅仅停留在以知识为中心、传授为主导的层面，学生对知识的结构理解不深，学生的科学研究精神和创新能力更得不到充分发挥。

鉴于此，我院“电路”课程组采用了“以学科教学、课堂教学为基础”的探究性学习理念，同时利用导学互动的加式教育BOPPPS(Bridge-in、Objective、Pre-assessment、Participatory Learning、Post-assessment和Summary)教学模式，对“相量法的引入”这一知识点的教学进行了重新设计，引导学生在自行探究得到结果的同时思考相量法引入的原因及其优势，在获得知识的同时掌握科学研究的方法、提高科学研究能力。实践结果证明此教学设计收到了较好的效果。

1 探究性学习

探究性教学是著名教育家施瓦布在20世纪中叶提出的一种教学方法[1],是在教师指导下，学生主动地从学习生活和社会生活中选取与教学目的和教学内容有关联的问题和项目，用类似于科学研究的方式去获取知识、应用知识、解决问题的教学活动[2]。探究性教学把“科学家的研究过程”引入到教学过程，强调“科学家的研究过程和学生的学习过程的相同性和不可分割性的一面”[3]。虽然学生学习和探究具有“模拟性”、“再现性”、“验证性”的特征，但从科学的本质来看，学习过程和研究过程是统一的，其过程和结论也是统一的。

2 BOPPPS教学模式

BOPPPS教学模式起源于1978年，是加拿大英属哥伦比亚省(British Columbia)以建构主义和交际法为理论依据推出的以学生为中心的教学模式[4]。由于其具备有效教学的特点——有效益、有效率和有效果，推出后很快被加拿大、美国等北美地区各高校引进，现在已经在全球30多个国家和地区广泛应用[5]。

BOPPPS教学模式注重课堂教学的流程，通过科学的教学步骤，激发学生学习兴趣和参与度，提高学生在学习过程中的主观能动性[4]。具体的，BOPPPS教学模式将课堂教学过程划分为6个环节，依次为：引言B(Bridge-in)、目标O(Objective)、前测P(Pre-assessment)、参与式学习P(Participatory Learning)、后测P(Post-assessment)和总结S(Summary)[6]。该流程不仅能帮助教师有效地设计和讲授课程，也能帮助教师及时和有效地反思教学过程和教学效果。因此，BOPPPS教学模式是教师组织课堂教学的有效工具[4～6]。

3 “相量法的引入”教学设计

以电路课程的“相量法的引入”这一知识点为例，将BOPPPS教学模式与探究性教学理念结合起来，重新设计并实践了教学方案。

3.1 引言B(Bridge-in)

作为开头，设置引言环节的目的在于更好地吸引学生注意力，引导学生产生强烈的学习兴趣和学习动力，促使学生关注即将开展的核心教学内容[6]。我们所设计的引言环节也是探究性教学的开始，是以问题情景为先导的[7]。

(1)考察图1(a)所示的RL串联电路，在正弦电压源us(t)=Umcos(ωt+φ)激励下，分析计算整个电路稳定后的电流。

以此问题开始，引导学生列写电流满足的一阶微分方程，进而求取特解。

这个问题对于刚刚结束电阻电路的一般分析方法和动态元件的VCR的学生来说并不困难。结合网孔电流法和基本元件的VCR，学生可以很快列出电流所遵循的方程，如式(1)所示。

(1)

由于电感元件的电压是电流对时间的微分结果，因此它的存在使得电路方程不再是电阻电路所对应的代数方程，而是一个非齐次的一阶微分方程。求解电路稳定后的电流，即找寻这个非齐次一阶微分方程的特解，即使对高等数学基础一般的学生也并不困难。

(2)考察图1(b)所示的RLC串联电路，同样求解稳定后整个电路的电流。

此电路是前一个电路的递进——增加了一个电容元件，目的是引导学生列写电流满足的二阶微分方程，进而求取特解。

(a)RL串联电路 (b)RLC串联电路图1 正弦激励下的电路；

与图1(a)所示的RL串联电路相比，思路、解题步骤完全相同，不同的是由于电容元件的电压是电流对时间的积分结果，列写出的方程既含有电流对时间的微分也含有积分，如式(2)。再求一次微分后成为二阶微分方程，如式(3)。

(2)

(3)

寻求二阶微分方程的特解对一部分高等数学掌握程度不太好的学生来说，比较困难。这些学生在规定时间内只能列出微分方程，无法得到其特解。这一环节教师要严格限时，允许学生完不成。

(3)思考：如果动态元件个数继续增加、电路结构变得更加复杂，微分方程的阶数是否会从一阶二阶增加到三阶四阶甚至更高阶？那种情况下你能否求得特解？这些问题提出的目的是引导学生自行发现含多个动态元件的复杂电路问题的求解最终会演变成求解高阶微分方程特解的数学问题。在利用原有电路知识轻松列写微分方程之后，以学生现在的数学基础，是难以解决高阶微分方程的特解的求取这一数学问题的。

(4)最后提出问题：有没有办法不求解微分方程，而得到正弦激励的响应呢？

至此，引言环节结束。此环节从一个简单电路求解开始，层层递进，逐步增加难度，学生也经历了一个从容易到困难再到不能解决的过程——也是科学研究的必经之路。这样的引入能激发学生的好奇心，同时起到回顾前期所学知识和课程衔接的作用。

另外，引言环节的最后这一个问题，是带领学生峰回路转的关键，也是探讨相量法这一迂回求解正弦稳态响应的方法的开始，再次激发学生的注意力和学习热情。

3.2 目标O(Objective)

这个环节，需要教师言简意赅地阐明学习目的、传达教学目标，同时明确告知学生通过这节课能够学会做什么，从而让学生明确掌握学习的方向[6]。目标包含的要素有：谁(Who)、将学到什么(Will do what)、在什么情况下(Under what condition)及学得如何(How well)等。

具体的，本次两学时课程的学习目标是：学生能结合正弦稳态响应的特点，解释引入相量法的原因；能准确快速将正弦量与相量进行相互转换；列举正弦量的计算转化成相量计算的种类；能将正弦稳态电路的微分方程转化为相量的代数方程。

3.3 前测P(Pre-assessment)

前测是在建立学习目标之后对学生下一步开展的先测或摸底，目的在于准确掌握学生的兴趣或能力或先备知识或者对课堂待讲授教学内容的了解程度，以便教师及时调整课程的深度与进度、师生双方更好地配合，使课堂教学目标得以有效达成[6]。

为了解学生对正弦量及其计算的熟悉程度，也为后续的课程内容做准备，我们设计的前测环节分为两个测试。

此测试是为了了解学生对正弦量基本计算的掌握情况。正常情况下，学生能顺利完成正弦量与实数相乘、正弦量对时间的微分及积分计算；但大多数学生都不能在规定时间内把正弦量的加法完成。

同样，这个测试教师也要严格限时，再利用学生急于解决第二个测试中正弦量加法的心情，引导学生寻求其他途径，顺利过渡到下一个环节——参与式学习。

3.4 参与式学习P(Participatory Learning)

该环节主要通过师生互动来实现课程核心内容的交互式学习。参与式学习环节作为课堂教学的核心，要求教师能够随机应变、灵活运用各种教学媒体和资源，善于采用各种合理的教学策略来创造一个轻松活泼的学习环境，鼓励更多的学生主动参与到教学环节。从而帮助学生达到既定学习目的，实现课堂教学目标[6]。

这个环节是课程的核心环节，也是实现探索式教学的最重要、关键的环节。此环节分为五个步骤，仍然以问题情景为先导。

(1)考察图1(a)所示的RL串联电路以及图1(b)所示的RLC串联电路的各元件的电压、电流(教师直接给出表达式)，总结正弦稳态响应的特点，思考具备此特点的原因。

引导学生自行发现正弦稳态响应的三个特点：在正弦激励下的线性电路中，稳态响应仍然是正弦量(形式固定)；稳态响应的频率与正弦激励的一致(频率已知)；稳态响应的幅值、初相位与正弦激励的不同(两要素待求)。

此时最好继续引导学生能解释正弦稳态响应具备这些特点的原因--因为电路中电压电流响应所满足的KCL、KVL以及VCR约束，就是正弦量的加减、积分和微分，其运算结果都是正弦量。而且，如果激励频率单一，加减、积分和微分以后，频率也不会改变；也就是说，响应正弦量的三个要素中，在计算之前，频率就可以直接从激励中得到，我们只需要确定其他两个——“幅值、初相位”就可以了。

(2)思考有没有同时具备大小、幅角的数学量。

引导学生思考，课堂上可能会有个别学生能联系到极坐标、复数等数学概念。

(3)讲授相量与正弦量的关系。

学生联系到复数等数学概念以后，引出用复数表示正弦量——相量。

(4)

另外，可以用图形表征两者的关系，如图2所示。

图2 图示相量与正弦量的关系

图3 动画形式表示相量与正弦量关系的截图

从图2和图3可以看出：相量抛弃了同频正弦量所共有的同速度旋转、向实轴做投影这些程序，只保留了初始的有向线段。所以，相量可以代表正弦量，但是绝不等于正弦量。

(4)如何用相量代替正弦量求取正弦稳态响应？

引导学生围绕“求取正弦稳态响应”这一目的而制订探究计划：既然求取正弦稳态响应时，涉及到正弦量的加减、积分和微分运算，那么接下来就应该探究正弦量的这些运算转化成相量的什么运算。

然后让学生自行推导同频正弦量的加减、积分和微分运算转化为相量的运算形式。

这一个问题的提出到学生得到解答，是探究教学的主要承载环节——以课堂教学为主渠道，创设一种类似于科学研究的情境或途径，把方法的获得、能力的提高融入到获取知识的过程中，将隐含的科学方法和思维脉络揭示出来，通过教师的引导以及合理的归纳与总结，将知识的掌握和科学方法的熏陶有机结合起来。

至此，参与式学习环节结束。在这个环节中，除了“相量与正弦量的关系”这一部分内容是以教师讲授为主以外，其他部分都是以合作讨论为主要活动形式，以“被动答疑”为活动辅助手段[7]。具体的，在教学中，打破学生个体学习的常规，让学生自愿形成若干合作小组自行研究上述问题。当探究性问题情景激发起共同的学习目标时，教师的职责是：参照目标，更好地监察小组的进展情况，及时纠偏，或提醒学生是否需要调整目标，如你能不能再补充一下？你能再换个角度分析一下吗？你能解释为什么要采用这种方法？你是否还需要某方面的信息？在探究式学习初期，教师的引导必不可少，但随着讨论的深入，学生渐渐进入探究角色，教师就可“隐退”，真正实现学生从“学会”到“会学”的转变。

3.5 后测P(Post-assessment)

后测这一环节是在课程内容结束之际及时对学生开展检验或评估[6]。通过有针对性的测评方式检验学生的学习状况，了解学生本次课的学习效果是否达成既定的教学目标；同时，对于教学目标达成度的评价，也可以帮助教师促进教学过程的设计、改进与完善。

我们设计的后测环节也分为两个测试。

后测的第一个测试是回应前测的第二个测试。让学生借助相量再次完成正弦量的相应运算；完成后让学生自行总结前测时的直接计算方式与利用相量的间接计算方式的异同。

后测的第二个测试是回应引言环节。让学生将图1的两个电路对应的微分方程(式(1)和式(2))转化为电流相量满足的方程。结果分别为式(5)和式(6)。完成后让学生自行总结引入相量后的优势。

(5)

(6)

3.6 总结S(Summary)

最后，通过用简练的总结课堂教学的知识点或技能要点，整理并回顾授课内容以进一步巩固学习目标。

针对“相量的引入”，总结了相量法的思路，如图4所示。

在求解正弦稳态电路时，电路方程为微分方程组。虽然列出方程并不困难，但是求解高阶非齐次微分方程的特解是有困难的。而相量法借助相量把原来的微分方程转化为加减乘除的代数方程，求解变得容易许多。得到结果以后，再把结果转化为正弦量。比较原有的笔直但困难重重的解决方案，相量法明显走了弯路，但实现起来简单多了，因为我们面对的是代数方程，唯一需要付出的代价就是“复数运算”。

总结完本次课程的内容后，以一个启发性问题结束所有讲授，也为下一节内容做铺垫：现在是先在时域列完微分方程，再转化为相量的代数方程。能不能直接从时域转化为相量域，而省掉时域列方程的步骤？

图4 图示相量法的思路

3 学时安排

“相量法的引入”知识点共需要2学时，各环节并非平均分配时间。具体的，引言B限时10分钟；目标O由教师直接阐述，用时1分钟左右；前测P同样限时10分钟；参与式学习P用时1小时，且粗分为教师讲授为主和学生讨论两种形式，前30分钟教师完成“相量与正弦量的关系”的讲授，后30分钟留给学生自行探讨交流；后测P环节限时15分钟；最后用5分钟进行总结S。

4 结语

在“电路”课程教学中，针对“相量的引入”这个学生难以理解的知识点，我们探索和实践了利用BOPPPS模式的探究性教学。结合BOPPPS的六个环节，把问题呈现在教学之前，不仅将问题作为教学的导入点，而且问题始终存在于整个教学过程中，即由问题探究→问题解决→获取新知→新问题探究，由此不断深入。

从学生小组的交流和报告来看，学生对这种教学模式较为认可，积极参与，不光知识掌握较好，而且自行探索研究的潜能也得以激发。除了思考总结出此部分内容的科学探索之路之外，有的学生还将“绕弯但省力”“两点多线”等思想上升到了哲学层面，指导以后的科学研究、人生探索之路。

可以看出，这一模式提升了学生学习本课程的积极性，激发了学生自我学习的积极性，收到较好的教学效果。

另外，以此内容为基础，笔者参加了第二届全国高等学校青年教师“电路”、“信号与系统”、“电磁场”课程教学竞赛，一举夺得“电路”组第一名。