全线突破机车启动问题的九大相关知识点

谭程

机车起动问题是高中物理中的一个重要知识点，对于这个知识点的分析很多同学都感到比较困惑。对于这个问题的分析如果我们把握了以下几个要点，那么在分析这个问题时就不会感觉到困惑了。

知识点1. 机车起动的两种方式

【要点归纳】机车起动有两种运动模式，即机车以恒定功率（通常为额定功率P额）和以恒定加速度a起动。这两种启动方式的物理过程分别如下图所示：

（1）机车以恒定功率起动时，它的牵引力F将随速度v的变化而变化，其加速度a也随之变化，具体变化过程可采用如下示意图表示：

（2）要维持机车加速度不变，就要维持其牵引力不变，机车功率将随v增大而增大，当P达到额定功率P额后，不能再增加，即机车就不可能再保持匀加速运动了.具体变化过程可用如下示意图表示：

知识点2. 分析机车启动时的两个基本关系式

【要点归纳】“P=Fv”和“a= ”是分析与处理机车起动过程的两个重要的、基本的关系式。它反映了机车瞬时状态的各量间的关系。图1是机车在工作状态下的受力情况，应当明确P为机车的瞬时功率；F为机车的牵引力，而不是机车受的合力；v为机车的瞬时速度；a为瞬时加速度；f为机车所受的阻力（通常机车所受阻力设为恒力）；m是机车的质量。在实践中，我们只要抓住两个基本关系式，相关问题则会迎刃而解。

知识点3. 两种启动方式所获的最值速度

【要点归纳】两种启动方式不同，它们最终所获得的最大速度是不同的，

（1）额定功率起动的情形

由P=Fv和a= 可知，因功率P保持不变，速度增大，则机车的牵引力F必然减小，也就不难看出机车的加速度a因此而减小，所以该过程是一个加速度逐渐减小的运动。显然当牵引力F减小到等于机车所受阻力f时，即F=f，其加速度a=0，则机车的速度达到最大值vm，且vm= 。

（2）恒定加速度起动的情形

初速度为0的匀加速起动的过程，同样根据P=Fv和a= 知，由于加速度a恒定，则牵引力F不变（通常设定机车所受阻力f恒定）。因此隨着速度v增大，其机车的瞬时功率P随之增大，当P增大到额定功率时P额，此刻速度便是匀加速运动过程的最大速度 ，其大小为 = 。

应当注意到 是匀加速运动的末状态，此刻机车的功率刚好等于额定功率P额，而此时此刻牵引力仍为F，且F>f，再由P=Fv和a= 两个基本关系式，容易分析出，在功率不变的情况下，速度还会继续增大，牵引力随之减小，所以此后过程是加速度逐渐减小的加速运动，直到加速度a=0时，机车的速度达到最终的最大速度vm，且vm= 。

如图2所示，恒定加速度起动的过程的三个阶段，即从v0=0到 为匀加速运动阶段； 到vm为加速度逐渐减小的加速运动；此后以速度vm作匀速直线运动。

综合上面的分析可得：

（1）两种起动过程最终所能达到的最大速度vm= ；

（2）恒定加速度起动过程中，匀加速运动过程的最大速度 = .

知识点4. 机车启动中的两个典型v-t图像

【要点归纳】v-t图像能够很好地反映机车两种起动过程的速度随时间的变化情况。

图3是保持额定功率不变的起动过程的v-t图线。由图可以看出在t从0到t/的v-t图线的切线斜率逐渐减小，反映了机车的加速度逐渐减小，直到t/时刻，斜率减小为零，即此刻机车的加速度为零，之后图线表示机车一直作匀速直线运动。

图4是保持加速度不变的起动过程的v-t图线。t从0到t1时段为斜直线，表示机车做匀加速运动，且t1时刻达到匀加速运动过程的最大速度v1，t1到t2时段曲线的斜率逐渐减小，表明此阶段是加速度逐渐减小的加速运动，直到t2时刻速度达到最大值vm。此后即为匀速直线运动。

知识点5. 机车启动中的两个典型P-t图像

【知识点归纳】机车以恒定功率启动时，机车的功率是一直保持不变的，其功率P时间t图像如图5所示。由公式P=Fv和F-f=ma知，由于P恒定，随着v的增大，F必将减小，a也必将减小，汽车做加速度不断减小的加速运动，直到F=f，a=0，这时v达到最大值vm= = 。可见恒定功率的加速一定不是匀加速。这种加速过程发动机做的功只能用W=Pt计算，不能用W=Fs计算（因为F为变力）。

机车以恒定加速度启动时，由公式P=Fv和F-f=ma知，由于F恒定，所以a恒定，汽车做匀加速运动，而随着v的增大，P也将不断增大，直到P达到额定功率Pm，功率不能再增大了。这时匀加速运动结束，其最大速度为 = < ，此后汽车要想继续加速就只能做恒定功率的变加速运动了。该过程的功率P时间t图像如图6所示。可见恒定牵引力的加速时功率一定不恒定。这种加速过程发动机做的功只能用W=F·L计算，不能用W=P·t计算（因为P为变值）。

[例1] 一汽车在平直公路上行驶。从某时刻开始计时，发动机的功率P随时间t的变化如图7所示。假定汽车所受阻力的大小f恒定不变。下列描述该汽车的速度v随时间t变化的图线中，可能正确的是（ ）

【解析】本题属于机车的恒定功率启动问题，当牵引力大于阻力时，机车加速运动，但速度的增加会导致牵引力变小，机车所受的合力变小，机车的加速度变小，故机车的运动为加速度不断变小的加速运动，直到加速度等于零变为匀速直线运动，故0～t1时间内，是一个恒定功率加速过程，直到变为匀速直线运动，t1～t2时间内，是另一个恒定功率加速过程，直到变为匀速直线运动，故A项正确。

【方法归纳】忽略恒定功率启动问题的制约关系是导致机车速度变化出错，常见的错误归纳如下：（1）混淆了机车的恒定功率启动与恒定加速度启动，容易导致错选B；（2）忽略了惯性的作用，没有注意到汽车的速度不可能突然发生变化，再加之C项图与题干图非常相似而错选C；（3）对机车的恒定功率启动问题中加速度的变化认识不到位，容易导致错选D。

知识点6. 机车启动中的瞬时值问题

【要点归纳】在分析机车启动时经常会碰到求瞬时值这一问题，如达到的最大速度，还有某一时刻的加速度。在分析瞬时加速度这个问题时，多数是分析机车在达到额定功率瞬间到机车达到最大速度这一过程中，机车做变加速运动时的加速度，此时的关键是要求出此时机车的牵引力F，此时的牵引力可根据两个关系式“P=Fv和a= ”来求。下面我们通过一个具体的例子来说明：

[例2]汽车发动机的额定牵引功率为60kW，汽车的质量为5t，汽车在水平路面上行驶时，阻力是车重的0.1倍，试求：

（1）若汽车保持额定功率从静止起动后能达到的最大速度是多少？

（2）若汽车从静止开始，保持以0.5m/s2的加速度作匀加速运动，这段过程能维持多长时间？

（3）如果阻力不变，汽车在水平路面上用10m/s速度行驶，实际功率多大？此时汽车的加速度又是多大？

【解析】（1）汽车在水平路面上行驶时，由于牵引功率保持不变，则汽车的加速度逐渐减小，当F=f=kmg时，汽车的速度达到最大值vm。

则vm= = =12m/s。

（2）汽车从静止开始，以0.5m/s2的加速度做匀加速行驶，要求得这个过程所能维持的时间，必须求出匀加速过程的最大速度 。而达到速度 时汽车的实际功率恰好达到额定功率，所以根据两个基本关系式“P=Fv”和“a= ”，就可以求出保持匀加速运动过程的牵引力F，自然也就求出了 。

由F-f=ma得：F=ma+f=5×103×0.5+0.1×5×103×10=7.5×103N

= = =8m/s

所以匀加速运动能维持的时间为：t= = =16s。

（3）由于vm>10m/s> 表明此时汽车处于额定功率下，加速度逐渐减小的加速运动阶段，所以此刻的实际功率等于额定功率。

应该注意到，P保持不变，由p=F /v知此过程中牵引力不断减小，所以当速度v=10m/s时，其牵引力：F /= = =6×103N。

則此刻汽车的加速度：a= = =0.2m/s2。

【方法归纳】机车起动过程中常见基本问题及其处理方法：

知识点7：机车启动所受“阻力”的理解

【要点归纳】机车起动过程的问题中，阻力是相对牵引力而言的，它可能是空气阻力、摩擦阻力、重力或重力的下滑分量等，是起阻碍机车前行的各种力的合力。

[例3]汽车发动机的额定牵引功率为60kW，汽车的质量为5t，汽车在水平路面上行驶时，阻力是车重的0.1倍。当汽车行驶在倾角为？琢的长直斜坡上时，汽车所能行驶的最大速度是多少？（已知sin？琢=0.02）

【解析】汽车的受力分析如图8所示，汽车在坡路上行驶时，事实上汽车受到的阻力f是由两部分构成，即：f=kmg+mgsinα=0.1×5×103×10+5×103×10×0.02=6×103N

当F=f时P额=F vm=f vm，

所以v= = =10m/s。

【方法归纳】机车启动时所受到的阻力不要片面地理解为空气对机车的阻力，或者片面地理解为地面对机车的摩擦力，或是理解为机车在斜面上运动时为机车重力沿斜面的分力，这些理解是错误的。机车启动时所受到的阻力它实际上是所有阻碍机车启动时各个阻力的矢量和。

知识点8：机车启动问题中的位移分析

【要点归纳】在机车启动过程中，计算机车的位移是一个难点。由于机车一般会经历多个运动过程，在匀变速运动过程中可以利用运动学公式直接求解，但在变加速运动阶段，只能借助动能定理来计算。在机车启动问题中，要注意区别“两个速度”，即匀加速阶段的最大速度（图像中的v1）和最终匀速运动的速度（图像中的vm）。求匀加速阶段的位移可运用匀变速直线运动的位移公式x1= a = t1，计算变加速运动阶段的位移则不能用上述公式，但由于该阶段功率P不变，故可以用动能定理P（t2-t1）-fx2= m - m 计算。

[例4]一新型赛车在水平专用测试道上进行测试，该车总质量为m=1×103kg，由静止开始沿水平测试道运动，用传感设备记录其运动的v-t图像如图9所示。该车运动中受到的摩擦阻力（含空气阻力）恒定，且摩擦阻力跟车的重力的比值为μ=0.2。赛车在0～5s的v-t图像为直线，5s末该车发动机达到额定功率并保持该功率行驶，在5～20s之间，赛车的v-t图像先是一段曲线，后为直线.取g=10m/s2，试求：

（1）该车的额定功率；

（2）该车的最大速度vm；

（3）计算赛车出发后前20 s内的位移。

【解析】（1）0～5s赛车做匀加速运动，其加速度：a= = m/s2=4m/s2。

由题意得μ= ，则摩擦阻力为f=2×103N

所以发动机牵引力的额定功率P=Fv1=1.2×105 W。

（2）由P=Fvm，解得：vm=60m/s。

（3）前5s内赛车匀加速运动，位移x1= t1=50m

在5～20s内（即t2=15s），发动机已经达到额定牵引功率，且在20s时车的速度为最大速度vm，由动能定理得Pt2-fx2= m - m 。

代入数据解得x2=100m，总位移x=x1+x2=150m。

【方法归纳】弄清楚v-t图像中各段图线所表示的运动过程，然后画出运动草图，合理运用牛顿运动定律和运动学公式是解决此类问题的基本思路和方法。

知识点9. 分析机车起动的创新图像

【要点归纳】分析机车起动的创新图像主要有以下两类典型的创新图像：

1. F- 图像和v- 图像

这两类图像反映了机车在启动过程中发动机功率和机车速度之间的函数关系。因为P=Fv，随着机车速度的不断增加，P、v、F三个物理量随之发生变化。下面就机车以恒定加速度启动为例来说明它们之间变化的特点。

①图10是F-v图像，图像以F、v作为纵横坐标，直接反应了F与v之间的关系，ab段图像表示机车做匀加速直线运动，牵引力为恒力，随着速度的增加，机车功率逐渐增加，到达b点时机车功率达到额定值，bc段图像表示机车牵引力功率不变，随着速度的增加，机车牵引力逐渐减小，机车做变加速直线运动，图像为双曲线的一支。F-v图像的纵横轴与图像包围的面積表示机车牵引力功率。

由于F-v图像的bc段为双曲线的一支，图像不规则，所以衍生出图11和图12两种图像，通过变换坐标轴对应的物理量，使得图像变为直线。

②图11是F- 图像，由于图像的横轴为 ，所以分析图像时应该沿着横轴从右向左分析。图像的ab段表示随着速度的增加，牵引力恒定不变，此过程为匀加速直线运动。图像的bc段表示随着速度的增加，牵引力逐渐减小，机车发动机功率不变，此过程为变加速直线运动，c点时机车速度达到最大，机车开始匀速直线运动。bc段图像的斜率表示机车发动机功率。

③图12是v- 图像，图像的ab段表示匀加速直线运动，bc段表示变加速直线运动。

[例5]在检测某种汽车性能的实验中，质量为3×103㎏的汽车由静止开始沿平直公路行驶，达到的最大速度为40m/s，利用传感器测得此过程中不同时刻该汽车的牵引力F与对应的速度v，并描绘出F- 图像（图像ABC为汽车由静止到最大速度的全过程图像，AB、BO均为直线），如图13所示。假设该汽车行驶中所受的阻力恒定，根据图线ABC，求：

（1）该汽车的额定功率；

（2）该汽车由静止开始运动，经过35秒速度达到最大速度40m/s，求该汽车在BC段的位移。

【解析】（1）由图线分析可知：图线AB表示汽车所受牵引力F不变，阻力f不变，汽车由静止开始做匀加速直线运动；图线BC的斜率表示汽车的功率P不变，达到额定功率后，汽车所受牵引力逐渐减小做加速度减小的变加速直线运动，直至达最大速度40m/s；此后汽车做匀速直线运动。由图可知：当最大速度vmax=40m/s时，牵引力为Fmin=2000N。

由平衡条件f=Fmin可得：f=2000N

由公式P=Fminvmax得：额定功率P=8×104W

匀加速直线运动的末速度vB= 求得：vB=10m/s。

（2）汽车由A到B做匀加速直线运动的加速度a= =2m/s2

设汽车由A到B所用时间为t1，B到C的时间为t2，位移为s2则t1= =5s

所以可得：t2=30s

B点之后，对车由动能定理可得：Pt2-fs2= m - m

可得：s2=75m

【技巧点拨】这类图像的两部分虽然都为直线，但横坐标表示速度的倒数，从图像中获取信息难度加大，很难根据图像得出机车启动的运动特点，从而增加了这类题目的难度。这类图像应沿着坐标横轴从右向左的方向，即随着机车速度的不断增大，分析各个阶段的运动特点以及相关物理量的数据。

责任编辑 李平安