数列复习中常见易错点分析及点评

2018-12-01洪其强

广东教育·高中 2018年9期

洪其强

数列在每年的高考中必考. 但在数列的学习中，我们有时会遇到一些似是而非的问题，此类问题往往是由于我们对某些概念或公式的认识不深，使我们在解题时容易造成一些失误.同时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略，也就是在等价转化的过程中，没有注意到转化的等价性，会经常出现错误. 一般来说，考题中选择题、填空题解法灵活多变，要注意题情，避免出错. 笔者在此通过数例，分析解题过程中的致错原因，希望能有所帮助，以期在学习中加强思维的严密性训练.

1. 已知Sn求an时，易忽略n=1的情况而致错.

例1. 数列{an}前n项和Sn且a1=1，an+1= Sn. 求a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式.

【错解】易求得a2= ，a3= ，a4= . 由a1=1，an+1= Sn得an= Sn-1（n≥2）故an+1-an= Sn- Sn-1= an（n≥2）得an+1= an（n≥2）.

所以数列{an}的通项公式为an=（）n-1.

【分析】此题在应用Sn与an的关系时误认为an=Sn-Sn-1对于任意n值都成立，忽略了对n=1的情况的验证. 易得出数列{an}为等比数列的错误结论.

【解析】易求得a2= ，a3= ，a4= . 由a1=1，an+1= Sn得an= Sn-1（n≥2）故an+1-an= Sn- Sn-1= an（n≥2）得an+1= an（n≥2）又a1=1，a2= ，故该数列从第二项开始为等比数列故an=1，（n=1）（）n-2. （n≥2）

【点评】对于数列an与Sn之间有如下关系：an=S1，（n=1）Sn-Sn-1，（n≥2）利用两者之间的关系可以已知Sn求an. 但注意只有在当a1适合an=Sn-Sn-1 （n≥2）时两者才可以合并否则要写分段函数的形式.

2. 利用函数知识求解数列的最大项及前n项和最大值时易忽略其定义域限制是正整数集或其子集（从1开始）而致错.

例2. 等差数列{an}的首项a1>0，前n项和Sn，当l≠m时，Sm=Sl . 问n为何值时Sn最大？

【错解】由题意知Sn=f（n）=na1+ d= n2+（a1- ）n，此函数是以n为变量的二次函数，因为a1>0，当l≠m时，Sm=Sl故d<0，即此二次函数开口向下，故由f（l）=f（m）得当x= 时f（x）取得最大值.

【分析】等差数列的前n项和是关于n的二次函数，可将问题转化为求解关于n的二次函数的最大值，但易忘记此二次函数的定义域为正整数集这个限制条件.

【解析】由题意知Sn=f（n）=na1+ d= n2+（a1- ）n此函数是以n为变量的二次函数，因为a1>0，当l≠m时，Sm=Sl故d<0即此二次函数开口向下，故由f（l）=f（m）得当x= 时f（x）取得最大值，但由于n∈N？鄢，故若l+m为偶数，当n= 时，Sn最大. 当l+m为奇数时，当n= 时Sn最大.

【点评】数列的通项公式及前n项和公式都可视为定义域为正整数集或其子集（从1开始）上的函数，因此在解题过程中要树立函数思想及观点应用函数知识解决问题. 特别的等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数且没有常数项，反之满足形如Sn=an2+bn所对应的数列也必然是等差数列的前n项和. 此时由 =an+b知数列中的点（n，）是同一直线上，这也是一个很重要的结论. 此外形如前 n项和Sn=can-c所对应的数列必为一等比数列的前 n项和.

3. 解答数列问题时没有结合等差、等比数列的性质解答使解题思维受阻或解答过程繁琐而致错.

例3. 已知关于的方程x2-3x+a=0和x2-3x+b=0的四个根组成首项为的等差数列，求a+b的值.

【分析】注意到两方程的两根之和相等這个隐含条件，结合等差数列的性质明确等差数列中的项是如何排列的.

【解析】不妨设是方程x2-3x+a=0的根，由于两方程的两根之和相等，故由等差数列的性质知方程x2-3x+a=0的另一根是此等差数列的第四项，而方程x2-3x+b=0的两根是等差数列的中间两项，根据等差数列知识易知此等差数列为：，，，故a= ，b= 从而a+b= .

【点评】等差数列和等比数列的性质是数列知识的一个重要方面，有解题中充分运用数列的性质往往起到事半功倍的效果. 例如，对于等差数列{an}，若n+m=p+q，则an+am=ap+aq；对于等比数列{an}，若n+m=u+v，则an·am=au·av；若数列{an}是等比数列，Sn是其前n项的和，k∈N？鄢，那么Sk，S2k-Sk，S3k-S2k成等比数列；若数列{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，k∈N？鄢，那么Sk，S2k-Sk，S3k-S2k成等差数列等性质要熟练和灵活应用.

4. 用等比数列求和公式求和时，易忽略公比q=1的情况而致错.

例4. 数列{an}中，a1=1，a2=2，数列{an·an+1}是公比为q（q>0）的等比数列.

（I）求使anan+1+an+1an+2>an+2an+3成立的q的取值范围；

（II）求数列{an}的前2n项的和S2n .

【错解】（II）由数列{an·an+1}是公比为q的等比数列，得 =q？圯 =q，这表明数列{an}的所有奇数项成等比数列，所有偶数项成等比数列，且公比都是q，又a1=1，a2=2，

∴ S2n=a1+a2+a3+a4+…+a2n-1+a2n

=（a1+a2+a3+…+an）+（a2+a4+a6+…+a2n）

= + = .

【分析】对于等比数列的前n项和易忽略公比q=1的特殊情况，造成概念性错误. 再者没有从定义出发研究条件数列{an·an+1}是公比为q（q>0）的等比数列得到数列奇数项和偶数项成等比数列而找不到解题突破口. 使思维受阻.

【解析】（I）∵數列{an·an+1}是公比为q的等比数列，∴ an+1an+2=anan+1 q，an+2an+3=anan+1 q2，由anan+1+an+1an+2>an+2an+3，得anan+1+anan+1 q>anan+1 q2？圯1+q>q2，即q2-q-1<0（q>0），解得0

（II）由数列{an·an+1}是公比为q的等比数列，得 =q？圯 =q，这表明数列{an}的所有奇数项成等比数列，所有偶数项成等比数列，且公比都是q，又a1=1，a2=2，∴当q≠1时，S2n=a1+a2+a3+a4+…+a2n-1+a2n

=（a1+a2+a3+…+an）+（a2+a4+a6+…+a2n）

= + = ，

当q=1时，

S2n=a1+a2+a3+a4+…+a2n-1+a2n

=（a1+a2+a3+…+an）+（a2+a4+a6+…+a2n）

=（1+1+1+…+1）+（2+2+2+…+2）=3n.

【点评】本题中拆成的两个数列都是等比数列，其中 =q是解题的关键，这种给出数列的形式值得关注.另外，不要以为奇数项、偶数项都成等比数列，且公比相等，就是整个数列成等比数列，解题时要慎重，写出数列的前几项进行观察就得出正确结论.对等比数列的求和一定要注意其公比为1这种特殊情况. 高考往往就是在这里人为的设计陷阱使考生产生对而不全的错误.

5. 在数列求和中对求一等差数列与一等比数列的积构成的数列的前n项和不会采用错项相减法或解答结果不到位而致错.

例5. 已知数列{an}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）令bn =anxn（x∈R）求数列{bn}前项和的公式.

【错解】（2）由（1）得bn =2nxn令Sn=2x+4x2+6x3+…+2nxn……（Ⅰ）

则xSn=2x2+4x3+…+2（n-1）xn+2nxn+1 ……（Ⅱ）

用（Ⅰ）减去（Ⅱ）（注意错过一位再相减）得

（1-x）Sn=2x+2x2+2x3+…+2xn-2nxn+1.

所以，数列{bn}前项和的公式Sn= [ -nxn+1].

【分析】本题根据条件确定数列{an}的通项公式，再由数列{bn}的通项公式分析可知，数列{bn}是一个等差数列和一个等比数列构成的“差比数列”，可用错项相减的方法求和.

【解析】（1）易求得an=2n.

（2）由（1）得bn =2nxn令Sn=2x+4x2+6x3+…+2nxn …（Ⅰ）

则xSn=2x2+4x3+…+2（n-1）xn+2nxn+1 ……（Ⅱ）

用（Ⅰ）减去（Ⅱ）（注意错过一位再相减）得

（1-x）Sn=2x+2x2+2x3+…+2xn-2nxn+1.

当x≠1，Sn= [ -nxn+1].

当x=1时，Sn=2+4+6+…+2n=n（n+1）.

综上可得：

当x≠1，Sn= [ -nxn+1]；当x=1时，Sn=2+4+6+…+2n=n（n+1）.

【点评】一般情况下对于数列{cn}有cn=anbn其中数列{an}和{bn}分别为等差数列和等比数列，则其前n项和可通过在原数列的每一项的基础上都乘上等比数列的公比再错过一项相减的方法来求解，但要注意对题目中字母x 的讨论. 实际上，课本上等比数列的求和公式就是这种情况的特例.

6. 不能根据数列的通项的特点寻找相应的求和方法，在应用裂项求和方法时对裂项后抵消项的规律不清，导致多项或少项而致错.

例6. 求Sn= + + +…

【分析】本题解答时一方面若不从通项入手分析各项的特点就很难找到解题突破口，其次在裂项抵消中间项的过程中，对消去哪些项剩余哪些项规律不清而导致解题失误.

【解析】由等差数列的前n项和公式得1+2+3+…+n= ，

∴ = =2（ - ），n取1，2，3，…就分别得到，，，… ∴ Sn=2（1- ）+2（ - ）+2（ - ）+…+2（ - ）=2（1- ）= .

【点评】“裂项法”有两个特点，一是每个分式的分子相同；二是每项的分母都是两个数（也可三个或更多）相乘，且这两个数的第一个数是前一项的第二个数，如果不具备这些特点，就要进行转化. 同是要明确消项的规律一般情况下剩余项是前后对称的. 常见的变形题除本题外，还有其它形式，例如：求 + + +…+ ，方法还是抓通项，即 = = （ - ），问题会很容易解决.另外还有一些类似“裂项法”的题目，如：an= ，求其前n项和，可通过分母有理化的方法解决.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等.

7. 易由特殊性代替一般性误将必要条件当作充分条件或充要条件使用，缺乏严谨的逻辑思维.

例7. 设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn.

（Ⅰ）若首项a1= ，公差d=1，求满足 =（Sk）2的正整数k；

（Ⅱ）求所有的无穷等差数列{an}，使得对于一切正整数k都有足 =（Sk）2成立.

【错解】（II）设数列{an}的公差为d，则在 =（Sn）2中分别取 k=1，2，得

S1=（S1）2，S4=（S2）2，即a1=a1 2，（1）4a1+ d=（2a1+ d）2，（2）

由（1）得 a1=0或a1=1.

当a1=0，代入（2）得d=0或d=6，

若a1=0，d=0，则an=0，Sn=0，

若a1=0，d=6，则an=6（n-1），Sn=3n（n-1），

当a1=1时，代入（2）得4+6d=（2+d）2，解得d=0或d=2，

若a1=1，d=0，则an=1，Sn=n，

若a1=1，d=2，则an=2n-1，Sn=1+3+…+（2n-1）=n2.

综上，共有4个满足条件的无穷等差数列：

①{an} ： an=0，即0，0，0，…；②{an} ： an=6（n-1），即0， 6，12，…；③{an} ： an=1，即1，1，1，…；④{an} ： an=2n-1，即1，3，5，…；

【分析】本小题主要考查数列的基本知识，以及运用数学知识分析和解决问题的能力. 学生在解第（Ⅱ）时极易根据条件“对于一切正整数k都有 =（Sk）2成立”这句话将k取两个特殊值确定出等差数列的首项和公差，但没有认识到求解出的等差数列仅是对已知条件成立的必要条件，但不是条件成立的充分条件. 还应进一步的由特殊到一般.

【解析】（I）当a1= 时，d=1时Sn=na1+ d= n+ = n2+n.

由 =（Sk）2，得 k4+k2=（ k2+k）2，即k3（ k-1）=0. 又k ≠0，所以k=4.

（II）设数列{an}的公差为d，则在 =（Sn）2中分别取k=1，2，得：

S1=（S1）2，S4=（S2）2，即a1=a1 2，（1）4a1+ d=2（a1+ d）2，（2）

由（1）得 a1=0或a1=1. 当a1=0，代入（2）得d=0或d=6，

若a1=0，d=0，则an=0，Sn=0，从而 =（Sk）2成立，

若a1=0，d=6，则an=6（n-1），由S3=18，（S3）2=324，Sn=216 知S9≠（S3）2，故所得数列不符合题意. 当a1=1时，代入（2）得4+6d=（2+d）2，解得d=0或d=2.

若a1=1，d=0，则an=1，Sn=n，从而 =（Sk）2成立；

若a1=1，d=2，则an=2n-1，Sn=1+3+…+（2n-1）=n2，从而S=（Sn）2成立.

综上，共有3个满足条件的无穷等差数列：

①{an} ： an=0，即0，0，0，…；②{an} ： an=1，即1， 1， 1，…；③{an} ： an=2n-1，即1，3，5，…

【点评】事实上，“条件中使得对于一切正整数k都有 =（Sk）2成立.”就等价于关于k的方程的解是一切正整数又转化为关于k的方程的各项系数同时为零，于是本题也可采用这程等价转化的思想解答，这样做就能避免因忽视充分性的检验而犯下的逻辑错误. 在上述解法中一定要注意这种特殊与一般的关系.

8. 解答数列应用题时，审题不严易将有关数列的第n项与数列的前n项和混淆导致错误解答.

例8. 如果能将一张厚度为0.05mm的报纸对折，再对折……对折50次后，报纸的厚度是多少？你相信这时报纸的厚度可以在地球和月球之间建一座桥吗？（已知地球与月球的距离约为4×108米）

【错解】对折一次厚度增加为原来的一倍，设每次对折厚度构成数列an，则数列an是以a1=0.05×103米为首项，公比为2的等比数列. 从而对折50次后纸的厚度是此等比数列的前51项和，利用等比数列的前n项和公式，易得，S51= =50（251-1），而地球和月球间的距离为4×108<50（251-1），故可以在地球和月球之间建一座桥.

【分析】对折50次后，报纸的厚度应理解为一等比数列的第n项，易误理解为是等比数列的前n项和.

【解析】对拆一次厚度增加为原来的一倍，设每次对拆厚度构成数列an，则数列an是以a1=0.05×103米为首项，公比为2的等比数列. 从而对拆50次后纸的厚度是此等比数列的第51项，利用等比数列的通项公式易得a51=0.05×10-3×250=5.63×1010，而地球和月球间的距离为4×108<5.63×1010故可建一座桥.

【点评】以数列为数学模型的应用题曾是高考考查的热点内容之一，其中有很多问题都是涉及到等差或者等比数列的前n项和或第n项的问题，在审题过程中一定要将两者区分开来.

9. 以偏概全，错将特殊当一般而致错.

例9. 设等比数列{an}的全n项和为Sn . 若S3+S6=2S9，求数列的公比q.

【错解】∵ an=Sn-Sn-1，∴ an=2n+1（n∈N？鄢）.

【分析】在等比数列中，a1≠0是显然的，但公比q完全可能为1，因此，在解题时应先讨论公比q=1的情况，再在q≠1的情况下，对式子进行整理变形.

【解析】若q=1，則有S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1. 但a1≠0，即得S3+S6≠2S9，与题设矛盾，故q≠1.

又依题意S3+S6=2S9？圯 + =2· ？圯q3（2q6-q3-1）=0，即（2q3+1）（q3-1）=0，因为q≠1，所以q3-1 ≠1，所以2q3+1=0. 解得 q=- .

【点评】此题为1996年全国高考文史类数学试题第（21）题，不少考生的解法同错误解法，根据评分标准而痛失2分.

10. 没有意识到题中所给的隐含条件而致错.

例10. 在数列{an}中，a1=-2，2an+1=2an+3，则an等于（）

A. B. 10 C. 13 D. 19

【分析】 A、B、D被式子2an+1=2an+3的表面所迷惑，未发现{an}是等差数列这个本质特征，而只由表面的递推关系得到，从而计算繁琐，导致有误.

【解析】由2an+1=2an+3得an+1-an= ，∴{an}是等差数列.

∵ a1=-2，d= ，a11=13. 故选C.

11. 由前n项和Sn求通项时未注意an=Sn-Sn-1（n≥2）中并不包括首项a1而致错.

例11. 已知数列{an}的前n项之和为① Sn=2n2-n ② Sn=n2+n+1时，分别求数列{an}的通项公式.

【错解】① an=2n2-n-2（n-1）2+（n-1）=4n-3；

② an=n2+n+1-（n-1）2-（n-1）-1=2n.

【分析】在对数列概念的理解上，仅注意了an=Sn-Sn-1的关系，没注意a1=S1.

【解析】 ①当n=1时，a1=S1=1.

当n≥2时，an=2n2-n-2（n-1）2+（n-1）=4n-3.

经检验n=1时a1=1也适合，∴ an=4n-3.

②当n=1时，a1=S1=3.

当n≥2时，an=n2+n+1-（n-1）2-（n-1）-1=2n.

∴ an=3，（n=1）2n.（n≥2）

【点评】一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=S1，（n=1）Sn-Sn-1 ，（n≥2）由Sn求an时，an=S1，（n=1）Sn-Sn-1，（n≥2， n∈N？鄢）注意验证a1是否包含在后面an 的公式中，若不符合要单独列出. 一般已知条件中含an与Sn的关系的数列题均可考虑用上述公式.

12. 未能正确运用数列前n项和的性质解决求和问题而致错.

例12. 已知等差数列{an}的前n项之和记为Sn，S10=10，S30=70，则S40等于 .

【错解】∵S30=S10·2d，∴ d=30，∴ S40=S30+d=100.

【分析】将等差数列中Sm ， S2m-Sm， S3m-S2m成等差数列误解为Sm ，S2m ，S3m成等差数列.

【解析】由题意：10a1+ d=10，30a1+ d=70，得a1= ，d= ，

代入得S40=40a1+ ×40d=120.

【点评】等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列：Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，S4m-S3m，…仍为等差数列.

13. 未能正确运用数列前n项和通项公式的关系解决求值问题而致错.

例13. 等差数列{an}、{bn}的前n项和为Sn、Tn. 若 = （n∈N？鄢），求 .

【错解】因为等差数列的通项公式是关于n的一次函数，故由题意令an=7n+1；bn=4n+27.

∴ = = .

【分析】误认为 = .