立体几何易错点分析

2018-12-01童其林

广东教育·高中 2018年9期

童其林

立体几何是高考的必考内容，特点是试题题量、题型和分值稳定：一般是两个小题一个大题共22分，约占全卷总分的15%；考查全面：柱、锥、球及其简单组合体齐亮相，对几何体进行组、割、补、嵌、折手法多.从近几年的试题来看，三视图、判断或证明线面关系和求空间的角是必考内容，求表面积和体积也很常见.

总的来说，立体几何是高考比较容易得分的部分，但常出现“会而不对”“对而不全”的现象，导致失分.怎样才能多得分，得高分，避免失误是本文要研究的内容.下面就针对立体几何的常见易错点进行归纳分析，期望对考生的备考有帮助.

一、空间几何体的三视图

三视图是同一个几何体在互相垂直的三个平面上的射影，在解决空间几何体的三视图时，易出现的问题主要有：（1）不能正确确定特殊几何体的三视图；（2）不能由几何体的三视图正确确定几何体的形状；（3）不能正确把三视图中得数据转化为对应的几何体中得线段长度，尤其是侧视图中的数据处理很容易出错，从而导致几何体中的计算出现错误.

1. 由几何体辨别三视图

例1. 如图1，点M，N分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1B1，A1D1的中点，用过点A，M，N和点D，N，C1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体的正（主）视图、侧（左）视图、俯视图依次为（）

A. ①③④ B. ②④③ C. ①②③ D. ②③④

【错解】选A或B或C.

【错误分析】错误原因主要是不理解用过点A，M，N和点D，N，C1的两个截面截去正方体的两个角是什么意思，导致错选.

【正解】用过点A，M，N和点D，N，C1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体是一个不规则的几何体NMC1B1-ABCD.所以由正视图的定义可知点A，B，B1在后面的投影点分别是D，C，C1，线段AN在后面的投影面上的投影是以D为端点且与线段CC1平行且相等的线段，另外线段AM在后面的投影线要画成实线，被遮挡的线段DC1要画成虚线，故几何体的正视图为②，侧视图为③，俯视图为④，故选D.

【突破策略】（1）熟练把握常见的规则几何体如柱体、椎体与球的三视图，注重“三面一线”，即底面、侧面、对角面（轴截面）、侧棱（母线）四个方面的基本特征.（2）熟练掌握常见几何体的三视图是解决由三视图确定几何问题的关键，先根据俯视图确定几何体的底面，然后利用正视图和侧视图确定几何体的侧面；（3）三视图原则：“主侧等高，主俯等宽”是我们利用三视图中的数据确定几何体中相关线段的长度，特别注重侧视图中数据的长度.

2. 由三视图求对应空间几何体的表面积

空间几何体表面积与体积的求解是新课标考查的重点，多以选择题或填空题的形式出现求解此类问题易出现的问题主要有下面几个方面：（1）对几何体的结构特征把握不准，导致空间线面关系的推理、表面积与体积的求解出现错误，尤其是对正棱柱、正棱锥中隐含的线面关系不能熟練把握，正确应用；（2）混淆几何体的表面积与侧面积两个概念，导致计算时错用公式，漏掉底面积的计算；（3）在组合体的表面积的计算问题中，对于两个几何体重合问题或几何体的挖空问题，不能正确确定几何体表面积的构成导致计算重复或漏算；（4）计算失误问题是最常见的错误，基本计算能力是高考重点考查的四大能力之一，在这个方面一定要正确对待.

例2. 如图2，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是（）

（A）17π （B）18π

（C）20π （D）28π

【错解】选D或B或C.

【错误分析】错误原因：一是不能画出几何体，二是计算出错.

【正解】该几何体的直观图如图3所示，是一个球被切掉左上角的 .设球的半径为R，则V= × πR3= ，解得R=2，所以它的表面积是的球面面积和三个扇形面积之和.

S= ×4π×22+3× ×π×22=17π，故选A.

【点评】根据“长对正、宽相等、高平齐”的直观图画法规则，画出对应几何体的直观图，确定几何体中个元素的量，再计算几何体的表面积.

【突破策略】解决此类问题分两步：第一步，一般先确定几何体的大致轮廓，然后利用三视图中的实线和虚线通过切割、挖空等手段逐步调整；第二步，先部分后整体，即先分别求出各个简单几何体的表面积与体积，然后用它们表示所求几何体的表面积与体积，注意重叠部分的表面积以及挖空部分的体积的处理.

3. 由三视图求对应几何体的体积

由三视图确定几何体的形状并求解表面积或体积是高考命题的重点，多为客观题，在求解过程中易出现的问题主要有：（1）不能根据三视图确定几何体的形状，尤其是组合体的三视图以及几何体挖空、切割等问题，导致无法计算几何体的体积与表面积；（2）不能把三视图中的数据准确地与几何体中有关几何体的有关度量对应起来，导致计算出错，对于组合体三视图中的相关数据的处理不当导致失误；（3）几何体的表面积和体积的求解过程出错；（4）计算不细心导致运算失误问题.

例3.（2017届江西省赣州市二模）某多面体的三视图如图4所示，则该多面体外接球的体积为_________.

【解析】由三视图可知，该几何体是一个四棱锥，如图5所示，再取点Q，可得直三棱柱，高为2，在三角形PBC中，PC=2，PB=BC= ，由余弦定理可得cos∠PBC= ，则sin∠PBC= ，由正弦定理可得三角形PBC的外接圆的直径2r= = ，又四棱锥的球心到平面PBC的距离为1，所以外接球的半径R= = ，则外接球的体积V= πR3= π.

【突破策略】空间几何体是立体几何的基础，在学习过程中应首先注重对简单几何体——柱、锥、台、球的学习，把握它们的几何特征，注意三面一棱（线），即底面、侧面、对角线（轴截面）中反映的几何度量之间的关系，侧棱（母线）与底面的关系等，可以借助身边的实物，进一步加深对这些几何体的把握，培养自己的空间想象能力，这是我们分析空间组合体的结构特征的基础.其次，正确理解空间几何体的三视图，熟练掌握简单几何体的三视图是我们确定组合体三视图以及由三视图确定几何体形状的关键，注意三视图中的数据与几何体的几何度量之间的转化，三视图的画图规则是实现彼此转化的依据.最后，熟记规则几何体的表面积与体积公式，准确理解公式中的各个字母表示的几何意义，区分侧棱（母线长）与高、底面积、侧面积等概念，求解椎体的体积时，应注重灵活选择顶点和底面；对于组合体的面积、体积求解问题，要根据其结构特征通过分割或补形将其转化为规则几何体的有关计算.

4. 与三视图有关的最值问题

例4. 如图6，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）

A. 6 B. 6

C. 4 D. 4

【错解】选C.

【错误分析】错误原因：一是不能画出几何体，二是最长的棱判断错误.

【正解】该几何体是如图所示的棱长为4的正方体内的三棱锥E-CC1D1（其中E为BB1的中点），其中最长的棱为D1E= =6.选B.

【点评】一些三视图的问题置于正方体或长方体中去研究，往往化难为易，能直达目标.

二、空间几何体的角

空间几何体的角包括线线角，线面角，面面角.在解决空间几何体的三视图时，易出现的问题主要有：（1）求解两条异面直线所成角的过程中，不注意角的取值范围，误以为通过平移构造的三角形内角就是两条异面直线所成的角；（2）求解线面角的过程中，把向量公式弄错；（3）求解面面角的过程中，分辨不出是锐角还是钝角.

1. 异面直线所成的角

例5. 已知直三棱柱中ABC-A1B1C1，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）

A. B. C. D.

【错解】选A或B或选D.

【错误分析】错误原因：一是找不到异面直线AB1与BC1所成角究竟是哪一个，二是计算出错.

【正解】如图8所示，补成直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，则所求角为∠BC1D，∵BC1= ，BD= = ，C1D=AB1= ，可得∠DBC1為直角，因此cos∠BC1D= = ，故选C.

【点评】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是（0， ]，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角.求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围.

2. 直线与平面所成的角

例6. 如图9，四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD是正方形，侧面PDC是边长为a的正三角形，且平面PDC⊥底面ABCD，E为PC的中点.

（Ⅰ）求异面直线PA与DE所成角的余弦值；

（Ⅱ）求AP与平面ABCD所成角的正弦值.

【错解】如图9所示，取DC的中点O，连结PO，

因为△PDC为正三角形，所以PO⊥DC.

又因为平面PDC⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD.

建立如图7所示的空间直角坐标系O-xyz，

则P（0，0， a），A（a，- ，0），B（a，，0），C（0，，0）， D（0，- ，0）.

（Ⅰ）E为PC的中点，所以E（0，， a），

所以 =（0， a， a）， =（a，- ，- a），

所以 · = a×（- ）+ a×（- a）=- a2，

| |= a，| |= a，

cos〈，〉= = =- .

所以异面直线PA与DE所成角的余弦值为- .

（Ⅱ）因为平面ABCD的法向量 =（0，0， a），

所以cos〈，〉= = =- .

所以AP与平面ABCD所成角的正弦值为- .

（本题也可能出现另一种错误：cos〈，〉=- ，所以sin〈，〉= ，所以AP与平面ABCD所成角的正弦值为）

【剖析】本题失分的根本原因是概念不清，混淆了空间角与向量所成角的概念.（Ⅰ）中，异面直线PA与DE所成的角为锐角或直角，余弦值一定非负.（Ⅱ）中，将直线与平面所成角和直线的方向向量和平面的法向量的夹角混为一谈，事实上它们并不是一回事儿，两者相差90°，所以直线与平面所成角的正弦值等于直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦的绝对值. 正确解法是：

（Ⅰ）由错解，知cos〈，〉=- ，因为异面直线PA、DE所成的角是锐角或直角，所以异面直线PA、DE所成角的余弦值是 .

（Ⅱ）设AP与平面ABCD所成角为θ，由错解，知cos〈，〉=- ，所以sinθ=|cos〈，〉|= . 所以直线AP与平面ABCD所成角的正弦值为 .

【点评】对于考生出现的概念模糊致误，最好的方法是回归课本，从教材中理解知识的来龙去脉.

3. 平面与平面所成的角

例7. 正三角形ABC的边长为10，A∈？琢，B，C在平面？琢的同侧，且与？琢的距离分别为4和2，求平面ABC与平面？琢所成角的正弦值.

【错解】如图10，过点A作直线a∥BC，则平面BAC与平面？琢相交于直线a.作BM⊥？琢于M，CN⊥？琢于N，并取BC的中点为E，作EF⊥？琢于F.

因为？驻ABC为正三角形，所以AE⊥BC，因为BC∥a，所以AE⊥a.

又EF⊥a，所以a⊥平面AEF，所以AF⊥a，即∠EAF为平面ABC和平面？琢所成的角.

因为EF= （BM+CN）=3，AE=5 ，所以sin∠EAF= = .

【剖析】上述解法错在第一步，即“过点A作直线a∥BC”.已知A∈？琢，那么过点A且平行于BC的直线不一定在平面？琢内.而上述解法却误认为a是平面ABC与平面？琢的交线，进而得出错误的二面角的平面角，从而导致了错误的出现.

【正解】如图11所示，延长BC交？琢于点D，连接AD，则平面ABC∩平面？琢=AD.作BB1⊥？琢，CC1⊥？琢，垂足分别为B1，C1，于是CC1∥BB1，BB1=4，CC1=2，则C为BD的中点.

因为AC=BC=CD= BD，所以？驻BAD为直角三角形，且∠BAD=90°.

又AB1为AB在平面？琢内的射影，所以DA⊥AB1，即∠B1AB为平面ABC与平面？琢所成角的平面角，所以sin∠B1AB= = .

【点评】立体几何的公理看似用得很少，但它是构成立体几何的脊梁，本题就是公理3的灵活运用.

三、“斜二测画法”

我们知道：斜二测画法是画平面图形的直观图与空间图形的直观图的一种方法.这种画法强调了两种数量关系：

在解题过程中如果两种数量关系混淆，就容易导致错误.

1. 求线段长度

例8. 如图12所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，由斜二测画法，画出这个梯形的直观图O′A′B′C′，在直观图中梯形的高为（）

A. B. 1

C. D.

【解析】按斜二测画法，得梯形的直观图O′A′B′C′，如图13所示，原图形中梯形的高CD=2，在直观图中C′D′=1，且∠C′D′E′=45°，作C′E′垂直x′轴于E′，则C′E′即为直观图中梯形的高，那么C′E′=C′D′sin45°= ，故正确答案为C.

2. 求面积

例9. 一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直觀图恰好是一个边长为2的正方形，如图14，则原平面图形的面积为（）

A. 4 B. 4

C. 8 D. 8

【解析】由斜二测画法可知，原图形是一个平行四边形，且平行四边形的一组对边长为2，在斜二测图形中O′B′=2 ，且∠B′O′A′=45°，那么在原图形中，∠BOA=90°且OB=4 ，因此，原平面图形的面积为2×4 =8 ，故正确答案为（D）.

【点评】本题抓住在斜二测画法中平行于x轴的线段画为平行于x′轴，得到了原图形是平行四边形；画结合原图形中垂直在直观图中画为夹角45°，得到原图形中的高，从而得到结论.

3. 画原图形

例10. 如图15，A′B′C′D′是边长为1的正方形，又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形.

【解析】由于A′B′C′D′是边长为1的正方形，则∠D′A′C′=45°.

于是取A′C′，A′D′所在的直线分别为x′，y′轴.

画两条垂直的有向直线，分别为x，y轴，A为原点，AC在x轴上，且AC= ，再在y轴上取点D，使AD=2，取AC的中点E，连结DE并延长至B使DE=EB，连结DC，CB，BA得四边形ABCD，即为正方形A′B′C′D′的原图形，见图16.

至此，可以看出斜二测画法看似是一种比较简单的画图方法，但当我们认真深入其中时，会发现并非都是简单问题.逆向斜二测问题有时还真有点难度，必须细心分析，才能保证万无一失.实际上，正如对公式的应用，应会正用、逆用和变形应用一样，对“斜二测画法”的原来也要懂得“正用、逆用和变形应用”.

四、推理论证时的常见错误

1. 共面、共线、共点问题

常见错误是不能灵活利用平面的基本性质确定两个平面的交线，导致有关共线、线共点的证明问题无从下手.

【突破策略】解决点共线、线共点问题的关键是利用基本性质，即确定两个平面的交交线，证明“点共线”先由 “两点” 定“线”，后证其他点也是在这条“线”上；证明“线共点”先由 “两线”定“点”，后证其他线也过该“点”.

2. 空间平行关系

（1）空间平行关系的判断

在解决有关该考点的具体问题时，易出现的问题主要有：（1）对空间线面关系考虑不全面，导致位置关系判断出错，漏掉直线在平面内的情况；（2）在利用空间线面平行与面面平行的性质定理证明空间平行关系时，往往忽略限制条件导致思维过程不严谨，导致误判.

【突破策略】对于结论不能确定的线面位置关系，常用为长方体为模型的构造反例；利用定理进行推理证明时，要注意定理的条件，把涉及的点、线、面之间的关系搞清楚，尤其要注意一些关键性字眼，如“平面外的直线”、“平面内的直线”、“平面内的两条相交直线”等，避免出错.

（2）空间平行关系的证明

空间平行关系的证明往往作为解答题中的第（1）问，而两条直线的平行是证明空间平行关系的基础，在证明空间平行关系时往往出现以下问题：（1）不能灵活运用平面几何中的相关结论，尤其是利用中位线、比例线段等来构造线线平行关系；（2）不能利用几何体或几何图形的结构特征将空间问题灵活转化为平面内的问题，然后再利用平面几何中的结论构造平行关系.

【突破策略】（1）灵活利用平面图形的性质构造平行关系是证明线面关系的关键，一般可通过取中点或比例分点构造比例线段得到平行关系；（2）注意空间几何体的侧面、底面、对角面、截面等的应用，把问题转化为平面图形中的相关问题解决.

（3）空间平行关系的综合应用

由于空间线面关系的复杂性，在求值或证明的过程中，对于点、线、面的位置分析得不够彻底.就会漏掉它们的一些特殊位置关系，导致漏解或漏证.

【突破策略】准确把握空间元素的相互位置关系是正确求值，求证的基础.注意空间中两个元素之间的位置关系，要对所有可能的情况进行讨论；当涉及多个、多类元素时，一定要抓住其中的关键条件，确定分类的依据和标准，然后进行分类讨论，如一个点和两个平面，则应分点在平面的同侧、点在平面的中间两种情况进行分析.

3. 空间垂直关系

（1）空间垂直关系的判断与性质

在解决具体问题时，易出现的问题主要有：（1）对直线和平面垂直的判定定理理解不深刻，忽视定理中的“两条相交直线”导致对直线和平面是否垂直判断失误；（2）利用两个平面垂直的性质定理时，忽视“直线在平面内”的条件，导致误判；（3）对空间线面关系的有关判定、性质定理掌握不扎实，不能灵活运用其推导结论.

【突破策略】在记忆相关定理时，要结合图形梳理定理的条件与结论，不能遗漏.把定理中所涉及的点、线、面之间的关系搞清楚，弄清楚每个定理所包含的条件，尤其要注意一些关键性字眼：如“平面外的直线”、“平面内的直线”、“平面内的两条相交直线”等.

（2）垂直关系在求空间角中的应用

在求解此类问题时，易出现的问题主要有：过多地依赖空间向量，导致忽视最基本的定义法或性质法，对于简单的空间角的求解，不能利用定义或性质快速、准确地进行求解，而是一味地利用向量求解，导致计算失误.

例11.（2018年福建省高一数学竞赛题）如图17所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、E分别为棱BC、BB1的中点，N为正方形B1BCC1的中心，l为平面A1MN与平面D1BE的交线，则直线l与正方体底面ABCD所成角的大小为（）

A. 30° B. 45°

C. 60° D. 90°

【解析】如图17，由正方体的性质与条件，可得MN⊥面ABCD，BE⊥ 面ABCD.

所以，面A1MN⊥面ABCD，面D1BE⊥面ABCD.

所以，l⊥面ABCD，l与面ABCD所成角的大小为90°，选D.

【点评】通常的思路是找出平面A1MN与平面D1BE的交线l，再求出直线l与正方体底面ABCD所成角的大小，但繁琐，利用性质（两个相交平面和第三个平面垂直，则交线和第三个平面垂直），整体考虑可化繁为简.

【突破策略】空间角的求解往往与几何体的结构特征综合在一起进行考查，所以应该首先考虑定义法，即利用定义作出空间角的平面角，然后再求解（本题用的是性质法）。作出线面角与二面角的平面角大多要利用直线和平面垂直，所以首先要结合几何体的结构特征，寻找线面垂直关系，如果几何体中的线面垂直关系比较明显，可直接利用定义法或性质去求解；如果线面垂直关系不明显，则可以考虑利用向量法求解.

（3）空间平行与垂直关系的综合应用

空间线面关系的证明思路更多地来自直观的图形，在解题过程中往往因为图形不直观、不形象而导致对几何体中线面关系认识不清，尤其是辅助线，一定要注意区分虚实.

【突破策略】利用几何的综合方法解决立体几何问题时，往往要作一些辅助线或者辅助平面，作图时不能凭借直观，而要用根据，其中有两条线极为重要：一是找中点连辅助线，出现平行线；二是找两个平面垂直，在一个平面内作交线的垂直，出现线面垂直.

（4）空间垂直关系在综合性证明题中的应用

空间垂直关系的证明与利用是空间线面关系的重点，在判断、证明空间垂直关系时，往往出现以下问题：（1）忽视特殊平面图形中的一些垂直关系，导致证明没有思路.（2）忽视已知条件中线段的长度之间的关系，不能通过计算找出线线的垂直关系；

【突破策略】要解决上述问题，需要注意两个方面：（1）注意特殊的平面图形中的垂直关系；（2）当已知条件出现线段的长度时，要注意这些长度之间的关系，当几何体中线面关系不是很明显时，往往需要通过计算来证明垂直关系.

例12. 设α，β，γ是三个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，给出下列命题：

①α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ

②若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n

③若α∥β，β∥γ，则α∥γ

④若m，n在γ内的射影互相垂直，则m⊥n

其中错误命题的个数为（）

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

【错解】选 C.

【剖析】由于空间点、直线、平面的位置关系是在空间考虑，这与在平面上考虑点、线的位置关系相比复杂了许多，特别是当直线和平面的个数较多时，各种位置关系错综复杂，相互交织，如果考虑不全面就会导致一些错误的判断.因此，我们可以借助正方体、三棱锥、三棱柱模型来分析.

【正解】两个平面都垂直于同一個平面，这两个平面可能平行，可能相交，不一定垂直故①错误；m∥α，n∥β，α⊥β，则m，n可能相交，可能平行，可能异面，故②错误；由平行的传递性，可知，若α∥β，β∥γ，则α∥γ，故③正确；若m，n在γ内的射影互相垂直，则m，n可能相交，可能异面，故④错误.故正确的命题为③，故选A.

例13. 如图18，△ABC是简易遮阳棚，A，B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角应为（）

A. 75° B. 60°

C. 50° D. 45°

【错解】为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角应该越大越好，选A.

【剖析】由于正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，并非遮阳棚ABC与地面所成的角越大，遮阴影面ABD面积就最大，应该通过计算才能说明何时最大.

作CE⊥平面ABD于E，则∠CDE是太阳光线与地面所成的角，即∠CDE=40°，延长DE交直线AB于F，连接CF，则∠CFD是遮阳棚与地面所成的角，设为？琢. 要使S？驻ABD最大，只需DF最大.

在△CFD中， = ，所以DF= .

∵CF为定值，∴当？琢=50°时，DF最大.

故遮阳棚ABC与地面所成的角为50°时遮阴影面最大.故正确答案是C.

【点评】解题离不开猜想，有时也需要想当然（合情推理），但这些都需要逻辑的验证.

【突破策略】空间线面关系的综合问题包含立体几何初步的所有内容，综合性较强，在学习过程中应该抓住“图”“证”“算”这三个字.

“图”是立体几何的根本，主要包括几何体的直观图与三视图，我们要学会识图、用图、作图，通过周围实例，不断提高自己的空间想象能力，把实现直观图、三视图两者之间的互化，把握常见几何体中的线面关系及其三视图，是解决此类问题的关键.