基于威布尔分布的APU二级涡轮叶片可靠性分析

陈振中，王航超，王璐璐，秦 增，贾宇航

(1.沈阳航空航天大学 民用航空学院，沈阳 110136；2.中国南方航空股份有限公司 沈阳维修基地，沈阳 110100)

辅助动力装置APU(Auxiliary Power Unit)是一台小型的燃气涡轮发动机，安装于飞机后机身的尾椎之内，主要由动力段、负载压气机和附件齿轮箱三大部分组成，主要用于给飞机(地面)提供电力和压缩空气。正常工况下，高温高压燃气使涡轮旋转做功，再通过轴传递给压气机、附件齿轮箱，使APU周而复始地运转工作[1]。涡轮叶片的工作环境恶劣且又是二级涡轮组件的易失效部件。叶片的故障会导致APU工作性能衰退，甚至会出现APU停车，给飞机进场与起飞带来不便，导致航班延误从而给航空公司、乘客造成一定的损失。王能欢等[2]提出了二、三参数威布尔分布的乘用车包修数据的分析方法；刘建功，张祎等[3]进行了某型钢板的疲劳试验并分别利用二、三参数威布尔模型对钢板弹簧疲劳寿命进行分析，三参数威布尔分布拟合结果相对更好；李阳等[4]提出了一种基于威布尔分布的武器装备部件寿命评估方法；Emad E.Elmahdy[5]提出了一种利用不同威布尔模型对具有失效模式的系统组件的寿命数据进行建模的方法。本文基于威布尔分布对APU二级涡轮叶片可靠性寿命进行分析与研究。收集APU维修现场数据并整理出二级涡轮叶片的失效数据，选取一定量的故障数据作为样本，利用MINITAB、MATLAB对其处理分析，确定样本数据的分布模型，并对其进行参数估计、假设检验，分析APU二级涡轮叶片的可靠性水平，其对应的分析流程如图1所示。

图1 APU二级涡轮叶片故障数据统计分析流程图

1 威布尔分布

1.1 二参数威布尔分布模型

威布尔分布有二参数、三参数两种表达形式，位置参数、形状参数以及尺度参数为威布尔的3种参数。三参数威布尔分布函数表达式为

(1)

其中，β为形状参数，η为尺度参数，γ为位置参数，t为故障时间。

三参数威布尔分布的位置参数γ=0时为二参数威布尔分布。二参数威布尔分布函数为

(2)

1.2 二参数威布尔分布的最小二乘法分析

二参数威布尔分布函数式(2)线性化，即对(2)式作等价变换，两边同时取两次对数，其结果如下

(3)

Y=AX+B

(4)

对上面线性方程(4)利用最小二乘法求解A、B(估计值)如下所示

(5)

(6)

把所求A、B值代回对应的表达式进而求解出二参数威布尔模型的形状参数β与尺度参数η[6-7]。

为了测定最小二乘法拟合精度，一般采用相关系数法描述X、Y之间的相关程度，其表达式如下

(7)

相关系数R与相关程度之间的关系如表1所示。

表1 相关系数表

2 APU二级涡轮叶片可靠性分析

2.1 基于中位秩公式计算经验分布函数

同一构型APU二级涡轮叶片部分故障数据(叶片为不可修产品)，其样本量为50，频数直方图如图2所示。基于统计软件MINITAB对样本数据进行“比较分布”分析并绘制二参数威布尔诊断图如图3所示，再利用MATLAB绘制出二参数威布尔概率图如图4所示。从图中可以看出大多数点分布于一条线附近，两者分析结果相同，所以此样本数据符合二参数威布尔分布模型(初步判定，后面进一步分布假设检验)。针对故障数据使用中位秩公式计算经验分布函数值如表2所示。中位秩公式为

(8)

其中，i表示每一个样本的序号，也称秩；n表示样本量[8-10]。

图2 直方图

2.2 最小二乘参数估计

图3 二参数威布尔诊断图

图4 二参数威布尔概率图

表2 叶片数据表

图5 最小二乘拟合图

为了验证最小二乘法的合理性、参数的相对准确性，基于MINITAB软件对样本数据再进行极大似然参数估计，形状参数β=4.381 6，尺度参数η=7.234×103。两组参数如下表3所示。

表3 参数对比表

2.3 分布拟合优度检验

K-S(Kolmogorov-Smirnov/柯尔莫哥洛夫-斯米尔诺夫)检验法，也称D检验法。K-S单样本检验是观测一组样本数据的分布与某一指定的理论分布之间的符合程度。

设总体分布为F(t)，F0(t)为已知的连续分布函数，假设检验问题H0：F(t)=F0(t)，K-S具体检验步骤为

(1)样本量为n的样本T1,…,Tn，升序排列的统计量为：T(1)≤T(2)≤…≤T(n);

(2)计算每一个样本数据ti对应的已知分布函数F0(ti)、经验分布函数Fn(ti)并解出两者的差值，其中差值的最大绝对值为Dn。

(9)

(10)

联立以上(9)、(10)两式

(11)

(3)对于给定的显著水平α、样本量n，通过柯尔莫哥洛夫检验临界表查出临界值D(n,α);

(4)Dn≤D(n,α)，接受假设H0；反之，拒绝假设H0。

假设H0：叶片的失效数据服从β=4.451 1，η=7.242 0×103的二参数威布尔分布。 基于以上的Dn计算公式，结合MATLAB编程解出Dn=0.087 2。显著水平α=0.05,样本量n=50，通过查表D(n,α)=0.188 41，Dn

2.4 APU二级涡轮叶片可靠性水平

通过对某型APU二级涡轮叶片的故障数据的统计分析，并基于MATLAB编程绘制出叶片的分布函数图、概率密度函数图、可靠度函数图以及失效率函数图，分别如图6～图9所示。产品的可靠性指标一般包括可靠度、失效率、平均寿命以及可靠寿命。

产品的可靠度指产品在规定时间内与规定条件下，完成规定功能的概率。叶片可靠度函数

(12)

产品的失效率指工作到某一时刻未失效产品，在此时刻后单位时间内发生失效的概率。叶片失效率函数

(13)

产品的平均寿命是常用的可靠性指标之一，如果叶片寿命的概率密度函数为f(t)，则平均寿命即为叶片寿命所服从分布的期望，又由于叶片为不可修复产品，所以叶片的平均寿命又称为平均故障前时间(MTTF)。

(14)

产品的可靠寿命指产品正常工作在某一概率水平R以上，产品可以工作的时长，此时间称为可靠寿命tR

(15)

可靠度R=0.5的可靠寿命t0.5称为中位寿命；而R=e-1=0.368的可靠寿命t0.368称为特征寿命。APU二级涡轮叶片对应的中位寿命t0.5=6.670×103h，特征寿命t0.368=7.242×103h[2-5][11-15],如图8所示。

图6 分布函数曲线

图7 概率密度函数曲线

图8 可靠度函数曲线

图9 失效率函数曲线

3 结论

本文对某型APU二级涡轮叶片的现场故障数据进行统计分析，基于MINITAB比较分布、MATLAB概率图初步确定其服从二参数威布尔分布，采用最小二乘法进行参数估计，通过最小二乘拟合图直观地观察拟合性，进一步计算其相关系数定量地确定相关性。利用K-S检验法进行分布假设检验最终确定样本数据符合二参数威布尔分布，并计算可靠度、失效率、平均寿命以及可靠寿命四项可靠性指标来衡量叶片的可靠性水平。基于分析结果航空公司APU维修技术人员可以推测二级涡轮叶片的可靠性或寿命状态辅助维修。