近五年国内外数学影视作品中的数学探析＊

2018-11-30万安华

科技与创新 2018年17期

龚晖，万安华

（中山大学数学学院，广东广州 510275）

数学之树，经过数千年的不断成长，如今已枝繁叶茂、花团锦簇。奥妙无穷的数学理论、浩如烟海的数学书籍、神秘传奇的数学人物，衍生了多样的数学文化作品，比如数学影视作品。如今越来越多的具有数学专业性的纪录片和电影被拍摄出来，它们不仅展现了数学和数学家们更加真实的面貌，也提供给了观众一条更有趣的了解数学的途径。

近五年涌现了很多优秀的数学影视作品，比如传记电影《知无涯者》讲述了印度传奇数学家拉马努金如璀璨流星的一生；传记电影《模仿游戏》聚焦于图灵在布莱切利园解密“英格玛”协助盟军获得二战胜利的故事；纪录片《大海捞针：张益唐与孪生素数猜想》介绍了当代华人数学家张益唐在孪生素数研究方面取得的突破性进展。这三位数学家已广为人知，不再赘述。

本文选取了近五年出现的四部优秀数学理论纪录片，并对影片中的数学理论做了一些深入的挖掘，旨在给非数学专业的观影者一些专业的数学指导和给数学专业的人一些观影建议。

1 数学与数学理论的魅力

1.1 《逻辑的乐趣》中的数学

1.1.1 逻辑的发展史

1.1.1.1 亚里士多德与三段论

逻辑的历史可以追溯到2500年前的古希腊时期，亚里士多德创造了第一个正式的逻辑规则——三段论。

1.1.1.2 道奇森与批判思维

19世纪，数学家查尔斯·道奇森改变了只有哲学家钻研逻辑的现状，他为逻辑游戏和数理逻辑著书，是普及逻辑推理和批判思维的第一人。

1.1.1.3 布尔代数和布尔逻辑

1847年，乔治·布尔出版了关于逻辑的里程碑式的专著《逻辑的数学分析》，这本书搭起了逻辑与代数之间的桥梁。1854年，更为完善的逻辑书籍《思维的规则》被出版，布尔在书中创立了布尔代数和布尔逻辑，这本书也因此成为了他最著名的著作。

1.1.1.4 弗雷格与新逻辑量词

德国数学家戈特洛布·弗雷格证明了逻辑能够胜任对确定性的研究。19世纪末，他提出了新逻辑量词，打开了逻辑学的新篇章。

1.1.1.5 罗素与悖论

英国哲学家伯特兰·罗素花了9年时间写出了具有里程碑意义的《Principia Mathematica》，在书中，他提出了关于集合的著名悖论，并论证了他的论点：数学和逻辑是一致的。

1.1.1.6 哥德尔与数学逻辑系统的有限性

哥德尔通过研究罗素的著作得出结论：任何逻辑系统不是非矛盾的就是完整的，但它不能同时具备两种属性。他发现了罗素著作中的矛盾，那就是不完全性，并证明了所有数学逻辑系统都是有局限的。

1.1.1.7 图灵与逻辑的实用性

图灵提出了“图灵机”和“有些问题是不可计算的”的观点，无意间开启了一个全新的更注重实践的逻辑革命，成功地把逻辑与现代世界连接了起来。

1.1.2 逻辑的潜能

逻辑在数学理论上的发展似乎已到尽头，但却成为了计算机的根基，在所有工程科学中获得了意义重大的成就；逻辑不仅掀起了数字革命，也是我们用来分类、检索、获取网络信息的工具，几乎所有复杂的系统都会用到它；逻辑推理能力也是人工智能机器应该具备的基础和重要的能力。

1.2 《现代生活的秘密规则：算法》中的算法

1.2.1 最大公约数算法

已知的最古老的算法，是古希腊数学家欧几里得提出的求最大公约数的算法——欧几里得算法，拓展欧几里得算法则在公钥密码学中有着广泛的应用。

1.2.2 排序算法

除了冒泡排序算法和归并排序算法这两种经典算法之外，世界上还有20多种排序算法，比如选择排序、插入排序、希尔排序、快速排序、堆排序等。它们有不同的时间复杂度、空间复杂度和稳定性，各有优缺点。

1.2.3 网页排名算法

网页排名算法的思想在于一个页面的重要性取决于链接过来的其他页面的重要性；此算法还适用于其他领域的图形或者网络，它现在常用于文献计量学、社会和信息网络分析以及量化研究者的科学影响。

1.2.4 人脸识别算法

人脸识别算法在日常生活中被广泛应用，比如拍照时的面部识别、监控布控公共场所、公安照片搜索系统、门禁出入、身份识别等等。该算法还需要攻克光照、姿态、遮挡、年龄、样本缺乏、海量数据等难题，有很大的进步空间。

1.2.5 延迟接受算法

1962年，美国数学家David Gale和Lloyd Shapley发明了一种可以得到稳定匹配方案的策略，人们称之为盖尔-沙普利算法，也称为延迟接受算法。该算法应用非常广泛，比如网站交友匹配、解决择校问题、医学问题等等；改进的盖尔-沙普利算法还被应用到价格起作用的市场中，比如拍卖。

1.2.6 启发式算法

面对像旅行推销员这类难题时，人们虽然还没能找到有效的算法得到最优解，但能够通过启发式算法找到尽可能接近最优解的解决方案。启发式算法以仿自然体算法为主，主要有仿动物，比如蚁群算法；仿植物，比如模拟植物生长算法；仿人类，比如神经网络；其他，比如模拟退火法。

1.2.7 机器学习

机器学习是一门多领域交叉学科，是人工智能的核心。它有着非常广泛的应用，比如数据挖掘、计算机视觉、搜索引擎、图像识别、语音和手写识别等。

1.3 《CHAOS》中的理论浅析

1.3.1 混沌

混沌，是指确定性动力学系统因对初值极度敏感而表现出的不可预测的、类似随机的不规则运动。混沌现象在现实生活中无处不在，具有不确定、不可重复和不可预测的特性。

1.3.2 混沌性

1.3.2.1 洛伦兹吸引子

美国气象学家洛伦兹发现混沌存在于自己提出的大气模型中，但也发现这些随机轨线最终会稳定到形如蝴蝶翅膀的奇异吸引子上。这个奇异吸引子被发现，意味着混沌具有某种有序性。

1.3.2.2 马蹄铁

斯梅尔提出了抽象的马蹄铁，蹄铁中的轨迹对于初始条件高度敏感，但蹄铁的整体结构稳定。混沌性，即单个轨迹的不稳定性和整体结构的稳定性，两者并存。

1.3.2.3 纸条模型

柏曼、古根海墨和和威廉斯提出了简单的数学模型——纸条模型，来理解洛伦茨吸引子内部的动力系统如何运作；其后，数学家塔克则给出了关于两者有关联的严谨证明。

1.3.2.4 洛伦兹理论

除了蝴蝶效应，洛伦兹还提出，微小的变化不会改变天气事件发生的概率，只能改变这些事件所发生的顺序。科学家们猜测天气气象的混沌和统计数值的稳定性两种现象共存。因此，人们不再尝试预测未来某一天的准确的大气状态，转而寻找某种概率，因为比如平均值、概率等统计数值可能不敏感于初始条件。

1.3.2.5 混沌理论的应用

混沌理论，尤其是蝴蝶效应，通常用于天气、股票市场等在一定时段难以预测的比较复杂的系统中；混沌理论在经济学、语音研究领域也开始被应用；近几年来，英、日等国科学家还在开发用混沌信号隐藏机密信息的信号传输方法。

1.4 《数学大迷思》中的数学哲思

1.4.1 自然中的数学

数学与自然之间存在着深刻又神秘难懂的联系，比如，斐波拉契数列常常出现在植物里；常数π出现在任何有波纹的模型中；分子中的原子比和行星公转自转比都对应着简单的数学比率等。数学似乎在自然界中无处不在，真实存在的事物本身就有数学特质吗？

1.4.2 抽象思维中的数学

伽利略从自由落体运动中得到了数学规律；牛顿得到了存在于星球间相互关联的数学定律——万有引力定律……科学家们建立了数学公式，成功地描述和解释了很多现象，很像是人们自己组建了理解世界的语言——数学。因此，数学来自于人类的大脑吗？

1.4.3 数学的正确性

数学的正确性保证了数学预测的准确性。约200年前，人们利用数学预测发现了海王星；麦克斯韦建立的电磁理论预测了电磁波的存在；上帝粒子也被预测存在。数学在揭示宇宙奥秘时有着不可思议的精确性，那么数学理论是毋庸置疑地正确吗？

1.4.4 数学的局限性

数学模型在物理领域已是大放异彩，但在其他领域，比如天气预测、大脑中神经元互动的方式、心理学的很大一部分、生物学的很多问题等，还包括像生物学系统、经济学系统这些复杂的动力系统，都很难对其建立精准的数学模型。

1.4.5 数学的近似用法

在现实世界里，精确数学往往要让步于近似数学。因为人们对实用的部分更感兴趣，所以，会稍微牺牲数学的精确性，采用取巧的简洁方法——作近似，忽略掉一些项从而使方程更简单。工程师们往往要牺牲一部分数学的精确性，以便使得数学在实际生活中更加好用，使得数学像是我们自己制造的一个不完美的工具。数学到底是被发现还是被发明，至今没有明确的答案。