一节求数列通项公式公开课的设计与思考

阮建 肖爱玲

中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2018）28-0135-01

数列是高中数学知识体系中非常重要的内容，也是高考重点考察的考点之一.数列作为一类特殊的函数，是刻画实际问题的重要数学模型，有着非常广泛的应用.高中主要研究等差数列和等比数列这两种数列模型.数列这一部分内容对学生的思维能力、逻辑推理能力、运算能力等多个方面都有所考察，还培养了学生观察、分析、类比、归纳、猜想等能力.数列不但是高中数学重要的基础知识，同时也是未来进一步学习高等数学的重要基础内容.本节课是一节数列的复习课，介绍了求数列通项公式的七个类型题.

1.定义法

（1）已知a1=3，an+1=an+2，求an.（2）已知a1=2，an+1=13an，求an.

两个题目分别考察了等差数列的概念和等比数列的概念，这是最简单的形式，学生很容易就能得到答案.虽然这两个题目简单，可是它们会经常出现，特别是在大题的部分和证明题当中，如果想不到进一步变形，就无法完成题目.

2.已知Sn表达式，求an

（1）已知Sn=n2-1，求an.（2）已知Sn=n2-3n，求an.

虽然是常见题型，但是有一个问题需要注意，在求Sn-1的时候，注意项数n的取值范围是n≥2.当n=1的时候要判断a1是否满足条件.如果不满足，就要寫成分段函数的形式，如果满足就合二为一.这部分内容学生直接解决，用时大约3分钟，教师总结一下即可.

3.已知Sn和an之间的关系，求an

（1）数列{an}满足Sn=2an+1，求an.（2）数列{an}满足Sn=13（an-1），求an

这种类型题是高考重点考察对象之一，所以在教学的时候，要让学生多观察，找到这个问题的特点，会把表达式中的n都换为n-1，然后做差.由于这个题型比较重要，平时训练的比较多，学生能够快速的完成这两个题目，也不用花费太多的时间.

4.累加法

（1）已知a1=1，an+1=an+2n+1，求an.（2）已知a1=12，an+1=an+1n2+n，求an.

如果已知an+1=an+f（n），若f（n）可以求和，则可用累加法.在分析第一个问题时，利用累加法之后，学生观察发现右侧是一个等差数列求和问题，没有解题思路的同学顿时感觉柳暗花明，豁然开朗.第二个问题设置了1n2+n，观察之后发现1n2+n=1n（n+1）=1n-1n+1，转化为裂项求和的问题.

5.累乘法

（1）a1=1，an+1=nn+1an，求an.（2）a1=3，an+1=3n-13n+2an，求an.

前面已经练习了累加法，这两个题目学生很容易就想到利用累乘法.难度相对就降低了，学生也能自己总结出题目的规律.当题目中已知an+1=an·f（n），若f（n）可以求积，则可用累乘法.这里用时大约6分钟.

6.待定系数法构造新数列{an+λ}（适用于an+1=p·an+q）

（1）若a1=1，an+1=2an+1，求an.（2）已知a1=1，an+1=23an+1，求an.

引导学生观察递推公式的结构特征，与之前学过的递推公式比较，记住这类题型的特点.适用于an+1=p·an+q.采用的方法是构造一个新的数列，{an}既不是等差数列，也不是等比数列，转化后的{an+λ}是一个等比数列.这里应用了转化的数学思想.这两个题目难度有所增加，我选择先讲解一个题，然后再让学生练习第二个题，需要10分钟左右.

7.构造新数列

（1）已知a1=2，an=2an-1+2n，求an.（2）已知a1=2，an=3an-1+2n，求an.

第七种题型难度有所增加，大部分学生会感觉没有思路，无从下手.第一个问题由教师板书展示，其实问题的难点在于如何处理2n，通过对等式两边同时除以2n，把第七种题型转化为第六种题型.教师要让学生观察这种类型题的特点，它和第六种题型有什么异同点.学生很快能总结出an+1=p·an+qn.第二个小题由学生自主完成.这部分内容需要13分钟左右.

本节课共设置了七个问题.从七个不同的角度出发，让学生加深对数列的概念、数列通项公式an以及前n项和Sn的理解，会利用Sn和an之间的关系解决相关问题.并掌握公式法、累加法、累乘法、裂项求和法、待定系数法、构造新数列等解题方法.七个问题由浅入深，由易到难，学生很容易就突破难点，能够体会不同题型之间的特点和差异，并掌握七个类型题.