破解解析几何综合题的途径

罗永高

摘要：破解解析几何综合题，学生往往会遇到两个问题：1.想不到：不知道从那儿入手，想不到合理的解题方案.2.算不对：有了解题方案，但缺乏可操作性，还是得不到最后结论.教师如何打破解题途径模式化、套路化的束缚，从解决问题的思维层面去引导学生思考问题与解决问题，要让学生在解决问题的过程中去体会解析几何的基本思想，掌握研究解析几何问题的一般方法。

关键词：几何特征；代数化；代数运算

中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2018）28-0133-03

2016年浙江省高考数学理科解析几何试题简洁优美，背景熟悉，内涵丰富.面对第二小题，许多学生不知道从那儿入手，原因是不会分析条件“任意以点A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点”的几何特征，于是就想不到合理的解题方案.还有部分学生会把两曲线的交点问题转化为联立方程求解个数，但由于没有运用补集的思想，运算比较繁琐，还是得不到最后结论.下面以此题为例，分析研究破解的途径。

范例（2016年浙江省高考理科数学题19）如图，设椭圆x2a2+y2=1（a>1）.

（I）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a、k表示）；

（II）若任意以点A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.分析：如何分析本题中几何对象的几何特征及图像之间的位置关系呢？

设点P为椭圆在y轴左侧上的任一点，令|PA|max=d.设圆方程为x2+（y-1）2=r2.

若本题关注圆与椭圆的位置关系，可得如下结论：

由上图可知，圆与椭圆至多三个交点，有四种情况.而它的反面只有一种情况.所以首先会运用补集的思想，从圆与椭圆四个公共点入手，得到解法1.

解法1.假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可知y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足|AP|=|AQ|.记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，且k1，k2>0，k1≠k2.由（I）知，|AP|=2a2|k1|1+k211+a2k21，|AQ|=2a2|k2|1+k221+a2k22，

故，2a2|k1|1+k211+a2k21=2a2|k2|1+k221+a2k22

所以（k21-k22）[1+k21+k22+a2（2-a2）k21k22]=0

又k1>0，k2>0，k1≠k2，得1+k21+k22+a2（2-a2）k21k22=0.

因此（1k21+1）（1k22+1）=1+a2（a2-2）

（1）

因为（1）式关于k1，k2的方程有解的充要条件是1+a2（a2-2）>1，

所以a>2

因此，任意以点A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件是1

由e=ca=1-1a2得所求离心率的取值范围为0

评注：上述解法通过把弦长相等转化为关于k1，k2的方程问题虽然思路清晰，但运算量比较大，特别是2a2|k1|1+k211+a2k21=2a2|k2|1+k221+a2k22，

化简到（1k21+1）（1k22+1）=1+a2（a2-2） 难度很大，需要很强的运算能力.

能不能简化运算？考虑到1+k21化简用正切换元.

令k1=tanα，k2=tanβ（α≠β，α，β∈（0，π2））.

由2a2|k1|1+k211+a2k21=2a2|k2|1+k221+a2k22，

∵2a2|tanα|1+tan2α1+a2tan2α =2a2sinα1+（a2-1）sin2α，

∴sinα1+（a2-1）sin2α=sinβ1+（a2-1）sin2β

∴（sinα-sinβ）（1-（a2-1）sinαsinβ）=0，∴a2=1+1sinαsinβ>2.

比較两个运算过程可知，运用换元法不仅思路更清晰且大大减少运算量.

通过分析圆与椭圆至多三个交点，四种情形位置关系的共同特征，发现它们在y轴左侧至多有一个交点，于是可以等价转化为联立方程组至多一个解的问题，得到解法2.

解法2.x2+（y-1）2=r2

x2+a2y2=a2（a2-1）y2+2y+r2-a2-1=0.

由于在y轴左侧有至多一个交点，上述方程在y∈（-1，1）至多有一解，

记f（y）=（a2-1）y2+2y+r2-a2-1

假设方程有两解，则f（1）>0

f（-1）>0

-1<11-a2<1

△>0a>2

评注：对比上述两个解法不难看出，对几何对象的几何特征分析得越深入，代数化的方法就越简洁.

以上的做法都没注意到弦长|PA|的变化趋势与圆与椭圆公共点的关系. 若任意以点A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，从弦长|PA|的单调性看，当点P从上到下移动时，可知|PA|一定单调递增.否则若|PA|不单调，则椭圆在y轴左侧存在一点Q，使得|PQ|最大，说明|PA|当点P从上到下移动时先单调递增，后单调递减.

所以当圆的半径r∈（2，|PQ|）时，圆与椭圆有四个交点，显然不满足条件.下面从研究弦长的单调性入手，得到解法4.

解法4.设动点P（x，y） ，

则l=|AB|=x2+（y-1）2=（1-a）2（y-11-a2）2+a4a2-1.

对称轴y=11-a2，y∈（-1，1）.

（1）若11-a2≤-1，a≤2.此时l（y）在（-1，1）上为单调减函数，

当r∈（0，2）时，圆与椭圆有两个交点； 当r=2时，圆与椭圆有一个交点； 当r∈（2，+∞）时，圆与椭圆没有交点；显然满足条件.

（2）当11-a2>-1，a>2.此时l（y）在（-1，11-a2）上增，在（11-a2，1）上减.

当y=11-a2时，l（y）max=a2a2-1.

当r∈（2，a2a2-1）时，圆与椭圆有四个交点；

当r∈（0，2）∪（a2a2-1时，圆与椭圆有两个交点；

当r=2时，圆与椭圆有三个交点；当r∈（a2a2-1，+∞）时，圆与椭圆没有交点； 显然不满足条件.

评注：通过分析研究弦长|PA|的单调性不仅轻松的得到了任意以点A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件，解答过程更简洁，且得到了本问题的更一般性的结论.

当然从第一小题结论出发，也可以研究弦长|PA|的单调性，于是又得到解法5.

解法5.|AP|=2a2|k|1+k21+a2k2，令k=tanα，

從而可知|AP|在（0，a2-1）上单调递增，在（a2-1，+∞）上单调递减.

又因为|AP|在（1，+∞）上必须单调，故a2-1≤1，即a≤2

评注：由解法4、5可知，若任意以点A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件是|PA|当点P从上到下移动时单调递增.说明当圆的半径r=2时，圆x2+（y-1）2=4与椭圆内切于点（0，-1），于是得到更直观的解法.

解法6.x2+（y-1）2=4

x2+a2y2=a2（a2-1）y2+2y+3-a2=0

△=0，a=2，e=22.根据椭圆的扁圆程度与离心率的关系，可知e∈（0，22].

比较分析上述六个解法的思维过程，可以发现它们有一个共同的特征，其解法都经历了这样几个关键的步骤：

（1）根据题目的条件，分析几何对象的几何特征，从两个方面去分析：对于单个的几何对象，只要研究它的几何性质.对于不同的几何对象，还要关注它们的位置关系.

怎样分析几何特征呢？一方面要引导学生对几何对象的几何特征分析时可以结合它们的图形，对几何图形研究的深度决定了代数化过程运算量的大小.熟记常见图形的几何性质及常见辅助线，对分析几何图形的几何特征都非常必要.例如常见辅助线有：等腰三角形取底中点.切线作半径.圆的弦作直径.中点作中位线等.

分析几何对象的几何特征的另一方面是要引导学生学会从曲线方程、数学式等数据中得到有关几何对象的几何特征.这一点往往是许多学生学习解析几何时感到最困惑的地方，表现在学生缺乏从代数式中去分析几何特征的能力.若对于直线ax+by+b-a=0是什么样的直线的理解，当参数a，b变化时，直线ax+by+b-a=0表示一组动直线，这些动直线具有什么样共同的特征呢？引导学生从不同角度找出定点显得十分重要.

对几何对象的几何特征及图像之间的位置关系分析得越深入，代数化的方法就越简洁.

（2）在明确了几何对象的几何特征的基础上，通过设点，列方程进行几何元素的代数化、位置关系的代数化、所要解决问题结论的代数化.

（3）进行合理的代数运算.包括解联立方程组、消去参数求变量的值及范围、运用函数的研究方法解决方程根的问题及最值问题.掌握常见的简化运算的方法也是十分必要的.如选择一个合理的解题程序、点坐标及曲线方程的合理使用、运用设而不求的对策、注意点差法的合理使用、运用方程的几何特征、熟练运用换元法简化运算、掌握几种常见的消元法、运用解析几何中常见结论等方法.

（4）由代数结果，分析得出几何的结论.

平面解析几何综合题的教学，要让学生在解决问题的过程中去体会解析几何的基本思想，掌握研究解析几何问题的一般方法.要实现这个目标，教师要打破模式化、套路化的束缚，从解决问题的思维层面去引导学生思考问题与解决问题，要让学生从学科的思维方法去解决问题，这样才能达到事半功倍的效果。