Ding分次模和强Ding分次模

2018-11-26韩静梁力

浙江大学学报（理学版） 2018年6期

韩静，梁力

(兰州交通大学数理学院，甘肃兰州 730070)

文中的环均指有单位元的结合环,模都是左模.关于Ding投射模的研究源于DING等[1]的工作,称其为强Gorenstein平坦模.Ding内射模的研究源于MAO等[2]的工作,称其为Gorenstein FP-内射模.GILLESPIE[3]进一步研究了这两类模,并分别称之为Ding投射模和Ding内射模.后来,HUANG等[4]介绍并研究了强Ding投射模和强Ding内射模.近来,MAO[5]在分次模范畴中研究了Ding投射对象和Ding内射对象(分别称之为Ding分次投射模和Ding分次内射模).受以上工作的启发,本文研究分次模范畴中的强Ding投射对象和强Ding内射对象(分别称之为强Ding分次投射模和强Ding分次内射模),并研究了其与Ding分次投射模和Ding分次内射模之间的关系.同时,也给出了强Ding分次投射(内射)模与非分次的强Ding投射(内射)模之间的关系.

下面列出本文需要的一些概念.

设R是环,G是乘法群.若R=⊕σ∈GRσ,其中Rσ是R的加法子群,对任意σ,τ∈G满足RσRτ⊆Rστ,则称R是G-分次环(简称分次环).设M是R-模，若M=⊕σ∈GMσ,其中Mσ是M的加法子群,对任意σ,τ∈G满足RσMτ⊆Mστ,则称M是G-分次R-模(简称分次R-模).

设M,N是分次R-模.记

HomR-gr(M,N)={f∈HomR(M,N) |

f(Mσ)⊆Nσ,σ∈G},

即HomR-gr(M,N)是分次R-模范畴中M到N的所有态射构成的集合.

1 Ding分次投射模和Ding分次内射模

定义1(文献[5]定义3.1、定义4.1) 设R是分次环.

(1) 如果存在一个分次投射R-模的正合列

使得M≅Ker(P0→P1),且对任意分次平坦R-模F,HomR-gr(-,F)保持其正合，则称分次R-模M是Ding分次投射的.

(2) 如果存在一个分次内射R-模的正合列

使得M≅Ker(I0→I1),且对任意分次FP-内射R-模E,HomR-gr(E,-)保持其正合，则称分次R-模M是Ding分次内射的.

引理1设R是分次环,0→M′→M→M″→0是分次R-模的正合列. 若M′,M″是Ding分次投射的,则M是Ding分次投射的.

证明类比文献[6]引理3.1的证明可知，结论成立.

引理2设R是分次环.当且仅当存在正合列0→M→P→N→0使得P是分次投射的且N是Ding分次投射的，则分次R-模M是Ding分次投射的.

证明“必要性”是显然的,下证“充分性”.

设有分次R-模的正合列

(1)

(2)

使得对任意分次平坦R-模F,HomR-gr(-,F)保持序列(2)正合.粘接序列(1)和(2),得到分次投射R-模的正合列

(3)

且对任意分次平坦R-模F,HomR-gr(-,F)保持序列(3)正合.另一方面,取M的分次投射分解

(4)

(5)

使得M≅Ker(βα),且对任意分次平坦R-模F,HomR-gr(-,F)保持序列(5)正合.故M是Ding分次投射的.

如果χ包含所有的分次投射模且对任意分次模的正合列0→M′→M→M″→0满足M″∈χ,则称分次模类χ是投射可解的,当且仅当M′∈χ时M∈χ.对偶地,可定义内射可解的分次模类.

文献[5]命题3.4和命题4.5证明了在分次凝聚环上Ding分次投射模类是投射可解的, Ding分次内射模类是内射可解的.下面证明该结果在任意分次环上均成立.

定理1设R是分次环，则Ding分次投射R-模类是投射可解的,Ding分次内射R-模类是内射可解的.

证明显然Ding分次投射模类包含所有的分次投射模.考虑分次R-模的正合列0→M′→M→M″→0,其中M″是Ding分次投射的.如果M′是Ding分次投射的,那么由引理1知，M是Ding分次投射的.如果M是Ding分次投射的,那么由引理2知，存在正合列0→M→P→N→0,其中P是分次投射的且N是Ding分次投射的.考虑以下推出图：

由正合列0→M″→A→N→0和引理1知,A是Ding分次投射的.考虑上图中的第2行,由引理2知，M′是Ding分次投射的.这就证明了Ding分次投射模类是投射可解的.对偶地，可证明Ding分次内射模类是内射可解的.

推论1设R是分次环，则Ding分次投射R-模类和Ding分次内射R-模类对直和因子封闭.

证明根据文献[5]注记3.2(2)和注记4.2(2),Ding分次投射R-模类对于直和封闭, Ding分次内射R-模类对于直积封闭,故由定理1以及Eilenberg’s swindle定理(见文献[7]命题1.4)知，Ding分次投射R-模类和Ding分次内射R-模类对直和因子封闭.

2 强Ding分次投射模和强Ding分次内射模

定义2设R是分次环.

(1) 如果存在一个分次投射R-模的正合列

使得M≅Ker(f),且对任意分次平坦R-模F,HomR-gr(-,F)保持其正合，则称分次R-模M是强Ding分次投射的.

(2) 如果存在一个分次内射R-模的正合列

使得M≅Ker(g),且对任意分次FP-内射R-模E,HomR-gr(E,-)保持其正合，则称分次R-模M是强Ding分次内射的.

易知,强Ding分次投射R-模是Ding分次投射的,强Ding分次内射R-模是Ding分次内射的.

命题1设R是分次环，则以下结论成立：

(1)M是强Ding分次投射R-模当且仅当存在分次R-模的正合列

0→M→P→M→0,

(2)M是强Ding分次内射R-模当且仅当存在分次R-模的正合列

0→M→E→M→0,

证明(1) 先证“必要性”.因为M是强Ding分次投射的,所以存在分次R-模的正合列

其中P是分次投射的,且对任意分次平坦R-模F,有HomR-gr(-,F)保持其正合,即有正合列

和

进而有正合列

是正合的.因此,M是强Ding分次投射的.

(2) 可对偶地证明.

命题2设R是分次环，则分次投射R-模是强Ding分次投射的;分次内射R-模是强Ding分次内射的.

证明设P是分次投射R-模.定义映射

f：P⊕P→P⊕Pviaf(x,y)=(0,x).

则f∈HomR-gr(P⊕P,P⊕P),且Ker(f)≅Im(f)≅P.故有分次R-模的正合列

对任意分次平坦R-模F，证明HomR-gr(-,F)保持其正合,即证明下述复形正合：

设k∈Ker(f*),则f*(k)=kf=0.故对任意y∈P，k(0,y)=kf(y,0)=0,定义映射

β：P⊕P→Fviaβ(x,y)=k(y,0),

则β∈HomR-gr(P⊕P,F).对任意x,y∈P,有

(k-βf)(x,y)=k(x,y)-βf(x,y)=

k(x,0)+k(0,y)-β(0,x)=

k(x,0)-k(x,0)=0.

故k=βf=f*(β)∈Im(f*). 说明Ker(f*)⊆Im(f*),即上述复形正合.从而P是强Ding分次投射的.对偶地,可证明分次内射R-模是强Ding分次内射的.

命题3设R是分次环，则强Ding分次投射R-模类对直和封闭,强Ding分次内射R-模类对直积封闭.

证明设Mi是强Ding分次投射R-模，则有分次投射R-模的正合列

使得Mi≅Ker(fi),且对任意分次平坦R-模F,有复形HomR-gr(Pi,F)是正合的.注意到

是分次投射模的正合列,使得⊕Mi≅Ker(⊕fi),且

HomR-gr(⊕Pi,F)≅∏HomR-gr(Pi,F)，

故HomR-gr(⊕Pi,F)是正合的.说明⊕Mi是强Ding分次投射的,即强Ding分次投射R-模类对直和封闭.

对偶地,可证明强Ding分次内射R-模类对直积封闭.

以下定理给出了强Ding分次投射(内射)模和Ding分次投射(内射)模之间的关系.

定理2设R是分次环,M是分次R-模，则以下结论成立：

(1)M是Ding分次投射的当且仅当它是强Ding分次投射R-模的直和项.

(2)M是Ding分次内射的当且仅当它是强Ding分次内射R-模的直和项.

证明(1) 因为强Ding分次投射R-模是Ding分次投射的,所以由推论1可证明“充分性”.下证“必要性”.

设M是Ding分次投射的,即存在分次投射R-模的正合列

其中P= …⊕P1⊕P0⊕P0⊕P1⊕…是分次投射的,f=…⊕f1⊕f0⊕f0⊕f1⊕….注意到C是正合的,且对任意分次平坦R-模F,HomR-gr(C,F)是正合的,故Ker(f)是强Ding分次投射的,而M≅Ker(f0)是Ker(f)的直和项.

(2) 可对偶地证明.

最后,给出强Ding分次投射(内射)模与非分次强Ding投射(内射)模之间的关系.

设R是分次环，即指G-分次环.令R-gr是分次R-模构成的范畴,R-Mod是R-模构成的范畴.设U：R-gr→R-Mod是遗忘函子,则U有右伴随函子F：R-Mod→R-gr,满足F(M)=⊕σ∈GσM,其中σM={σx：x∈M}是M的拷贝(其R-模结构定义为：对任意r∈Rσ,r*τx=στ(rx), 其中τx∈τM).如果f：M→N为R-模同态,那么，分次态射F(f)：F(M)→F(N)定义为：F(f)(σx)=σf(x),其中x∈M,σ∈G.易知U和F是正合函子.当G为有限群时, (F,U)为伴随对(见文献[8]定理3.1).

定理3设R是分次环(即指G-分次环)，若G是有限群,则以下结论成立：

(1) 若M是强Ding投射R-模,则F(M)是强Ding分次投射的.

(2) 若M是强Ding内射R-模,则F(M)是强Ding分次内射的.

(3) 若N是强Ding分次投射R-模,则U(N)是强Ding投射R-模.

(4) 若N是强Ding分次内射R-模,则U(N)是强Ding内射R-模.

证明(1) 设M是强Ding投射R-模，则存在R-模的正合列

其中P是投射的,使得M≅Ker(f),且对任意平坦R-模Q,有HomR(P,Q)是正合的.因为F(-)是正合函子,所以存在分次R-模的正合列

使得F(M)≅Ker(F(f)).因为G是有限群,所以F是U的左伴随函子(见文献[8]定理3.1). 故F(P)是分次投射的.对任意分次平坦R-模L,U(L)是平坦R-模，则HomR-gr(F(P),L)≅HomR(P,U(L))是正合的,从而F(M)是强Ding分次投射的.

(2)设M是强Ding内射R-模,则存在R-模的正合列

其中I是内射的,使得M≅Ker(g),且对任意FP-内射R-模E,有HomR(E,I)是正合的. 因为F(-)是正合函子,所以存在分次R-模的正合列

使得F(M)≅Ker(F(g)).由文献[9]命题9.5 C.IV知，F(I)是分次内射的.因为G是有限群, 由文献[10]命题3.4知，对任意分次FP-内射R-模E′,U(E′)是FP-内射R-模.故HomR-gr(E′,F(I))≅HomR(U(E′),I)是正合的.因此F(M)是强Ding分次内射的.

(3)设N是强Ding分次投射的,则存在分次投射R-模的正合列