认识向量，亲近向量

徐树旺

向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，是沟通代数、几何与三角函數的一种工具，有着极其丰富的实际背景，在数学和物理学科中具有广泛的应用.向量内容已成为高中数学课程的“核心概念”之一.

一、向量体现了数学与物理的天然联系

生活中的向量随处可见：“风力3级，风向东北”、“飞机每小时向西北方向飞行900km”、“用了300kg的力向上提一物体”等，向量最初被应用于物理学，很多物理量如位移、速度、加速度、力等都是向量的原型，

如，两接连的位移确定一个新位移——向量的加法（α十b）的原型（图1）；力所做的功是由力与位移两矢量（物理上矢量——既有大小、又有方向、又有作用点）唯一确定的一个数——向量的数量积（α·b）的原型（图2）.

“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段，英国大科学家牛顿使用有向线段表示向量，将向量与力学应用结合在一起.笛卡儿坐标（x，y）形式的出现，使向量为力学应用提供了一种有效的数学工具.

二、向量代数“身份”的核心内容是运算

运算是数学学习中的一个基本内容，从小学开始，运算对象不断扩展：从整数到分数、从正数到负数、从有理数到实数；从数到字母，再到多项式等；数运算、字母和多项式运算，这些都是数学中的基本运算.

向量具有代数形式与几何形式的“双重身份”，既是代数的对象，又是几何的对象.作为代数对象的向量，必有运算法则和运算律，可与实数进行类比.

实数的运算结果始终是数，α十b，α-b，λα运算结果仍是向量，而向量的数量积（点乘）运算结果不是向量了.如果说从数的运算到字母的运算是运算的一次飞跃，那么运算对象扩展到向量则是运算认识上又一次飞跃.

三、向量是解决几何问题的重要工具

向量是既有大小、又有方向的量，是通过代数运算刻画几何对象及其位置关系、几何度量问题的工具.

解法1中，建立坐标系，将几何问题代数化（可以是三角形式），通过代数运算解决.解法2借助图形将抽象的问题直观地表达出来，使问题变得更直观、简单，求解更快速、准确.

向量是数形结合的载体，向量的坐标表示把点与数联系了起来，既为我们用代数方法研究几何问题提供了可能，也为我们用几何的观点处理某些代数问题丰富了研究的范围和手段，这正是向量已成为中学数学课程的主角的原因所在.