立体图形变变变

孟泰

代数中经常要进行“平方”“换元”“去分母”等各种代数变换，在几何体中同样也需要“变换”，常见的变换有：平移、旋转、作截面、侧面展开、割补、翻折、压缩（如果选修了3-3《球面上的几何》，就会知道还有进行连续变形的所谓“拓扑变换”）.

在定义几何体时，课本中（苏教版必修2，以下同）采用了如下变换技巧：

（1）平移：将多边形沿某一方向平移可得棱柱，如图1.

（2）旋转：将平面曲线绕某一直线旋转可得旋转体，如图2.

（3）作截面：将锥体作平行于底的一截面可得台体，如图3.推导直棱柱或圆柱体侧面积公式时课本用到了如下变换技巧：

（4）侧面展开：将立体几何问题转化为平面几何问题，如图4.运用侧面展开可解决一类圆柱表面上的线绕问题，在高考中有时还会用到如下变换：

（5）割补：将不规则或不便处理的几何体割补成便于处理的几何体.如：三棱锥A-BCD的三侧棱两两垂直且内接于球（如图5），侧棱长为1，2，3，求球面面积.可补成长方体，则长方体的对角线即为球的直径.所以R=1/2√（1+4+9）=1/214√，所以s=14π，

（6）翻折：要注意不变量.

如图6，三棱锥S-ABC的底面△ABC的面积为8，侧面△SAB的边AB上的高为3，求三棱锥S-ABC的体积的最大值.

因为V=1/3Sh，其中s=8为窟值，只要h最大，V就最大，

所以只要将侧面SAB绕AB翻折到垂直于底面的位置，即当面SAB上面ABC时h最大，則体积最大为V最大=1/3××8=8.

（7）压缩：推导简单（凸）多面体的欧拉公式（只要了解）时，可将多面体压缩到底面所在的平面上，有时解题也需要运用此变换.例如，

已知正四棱锥底面边长为a，侧棱长为b，求a：b的取值范围.

如图7，将P点压缩到0点，反之将0点拉伸就构成正四棱锥，

因为AB：OA=√2，而PA>OA，所以以：b=AB：PA

同学们在复习中要学会归纳小结.如，通过上述关于几何体变换的回顾总结，我们认识到，运用各种几何体的变换，能让几何体“动”起来、“活”起来.根据问题需要，作出适当的变换，同时注意抓住变换中的不变量（性），就可以驾驭几何体.