例析框图三大交汇问题

唐洵

随着课改的深入，高考对考生的能力要求正在不断提升，在交汇处命制试题也成为出题老师的一大重要手段.因此，当同学们面对数学问题时，应当学会多方位思考，建构系统的知识结构，做到“窥一斑而见全豹，做一题而解一类”.那么算法与程序框图的试题有哪些常见交汇呢？

交汇一、携手函数，翩翩起舞

题型介绍：框图与函数的交汇主要体现为两方面内容：一是利用条件结构，将分段函数融人框图之中，求函数的值或值域，此时应先从框图中抽象出分段函数的具体形式，再求解函数在各自段上的值域，最后进行综合；二是利用条件结构或循环结构，通过判断函数的性质，筛选函数，此时应当紧抓函数性质的判定方法，如函数的奇偶性，可通过定义法或图象法进行判定等.

例1 某程序框图如图1所示，现有以下六个函数，任选一个函数输入，则函数可以输出的个数为（）

（1）f（x）=x；（2）f（x）=lgx；（3）f（x）=ex；（4）f（x）=sinx/x（5）f（x）=x/ln/x（6）f（x）=x2COSx.

A.1

B.2

C.3

D.4

分析 f（x）+f（-x）=0 f（-x）=-f（x） 函数为奇函数；因此先判断函数是否为奇函数，再判断函数是否存在零点.

解析 由程序框图可知，要使得函数输出，必须满足f（x）是奇函数并且f（x）在定义域上存在零点.易知f（x）=x符合输出的条件；f（x）=lgx，f（x）=e x均为非奇非偶函数；f（z）=sinx/x为奇函数且x=π为该函数的一个零点，符合输出的条件；f（x）=x/ln|x|是奇函数，由函数图象可知，该函数在其定义域内无零点；f（x）=x2 COSx为偶函数；故满足输出条件的仅有f（x）=x和f（x）=sinx/x所以任选一个函数输入，则函数可以输出的个数为2，故选B.

点评 本例将函数的性质与程序框图相挂钩，其解题关键在于看懂程序框图的内涵及选择正确的判定方法.如函数的奇偶性常见的判定方法有三种：一是定义法，即利用f（-x）与f；（x）的关系进行判断；二是图象法，即利用所给函数的图象是否关于原点或y轴对称进行合理判断，一般用于基本初等函数或函数的识图问题中；三是结论法，如“奇函数X奇函数一偶函数，奇函数×偶函数一奇函数”等常用二级结论进行判定.在平时的学习过程中应注意积累.

交汇二、相约数列，结伴而行

题型介绍：框图与数列的交汇多种多样，其一般以循环结构为主线，可以考查特殊数列的求值、等差数列或等比数列的前n项和、分组求和法、裂项相消法等诸多内容.常见的利用循环结构求值就是一种特殊的框图与数列的交汇性试题.

例2执行如图2的程序框图，如果输入p=10，则输出的S=____.

分析 运行第一次，S=O+1/2，n=2；运行第二次，S=O+1/2十1/22，n=3；运行第三次，s=o+1/+1/2+1/221/23，n=4；…；以此类推，可知该程序的功能是实现等比数列的求和，此时应当注意循环结构的终止条件.

解析 运行该程序，可知该程序输出的s=o+1/+1/2+……1/2，由等比数列求和公式可知S=511/512

点评 数列与框图的交汇在高考中屡见不鲜，处理此类问题往往有两种方法：一是按部就班，运行程序，根据框图提示，一步一步地运行程序，得到相应答案，此法一般在框图步骤较少时使用；二是归纳推理，根据框图提示列出前几项，观察规律，看清该框图实现的功能是求数列中的项还是求和，进而套用相应的数列公式进行求解.交汇三、联袂概率，新颖别致

例3 某算法的程序框图如图3所示，其中输入的变量x在1，2，3，…，24这24个整数中等可能随机产生.

（1）分别求出按程序框圖正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi（i=1，2，3）；

（2）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i（i=1，2，3）的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.

当n=2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=l，2，3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大.

分析 （l）可以判断，y的可能取值为1，2，3，进而利用古典概型的概率公式求解相应的概率；（2）根据表格求出各自的频率，再利用频率估计概率，

解析 （l）变量x是在l，2，3.….24这24个整数中等可能随机产生的一个数，故共有24种可能.当x从1，3，5，7，9，II，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出y的值为1，故P1=1/2；当x从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出y的值为2，故P2=1/3；当x从6， 12，18，24这4个数中产生时，输出y的值为3，故P3=1/6.所以，输出y的值为1的概率为1/2，输出y的值为2的概率为1/3，输出y的值为3的概率为1/6.

（2）当n=2100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=l，2，3）的频率如下：

比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大.

点评 本题难度不大，但得分率却不高，究其根本原因有两点：一是题目新颖，交汇别致，在原始的概率问题中融入了框图，使得问题的综合性增强，结果部分考生未读题，先畏题；二是突破常规，勇于创新，摒弃了以往框图问题只能考客观题这一旧观念，将其融人解答题中，虽不难，但要求学生自身必须建构综合性的数学知识体系，达到以不变应万变的目的.