谈谈“开门大吉”“双色球”中的概率问题

甘志国

一、“开门大吉”中的概率问题

中央电视台第3套节目“开门大吉”，相信很多人都看过，这里面有什么奥秘吗？笔者据此编拟了一道概率问题，一起来看看.

“开门大吉”的规则是：选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金；回答每一扇门的问题后，选手可自由选择：带着奖金离开比赛，还是继续挑战后面的门以获得更多奖金；但是一旦回答错误，奖金将清零，选手也会离开比赛；每一扇门的听音时间为15 s（可自由支配，一次性听完，或多次听开始部分），15 s后选手必须回答，整个游戏过程中选手有一次求助亲友团的机会.选手闯过各扇门后所得的家庭梦想基金及累计家庭梦想基金依次是：

已知一位选手能闯过各关（把回答问题正确叫闯关成功，也叫闯过该关）的概率与该关的家庭梦想基金成反比，且该选手能闯过第一关的概率是1.

（1）求该选手能闯过八关的概率；

（2）请从统计角度分析该选手应决定闯几关后离开该比赛？

解 由题设可得该选手能闯过第1，2，3，…，8关的概率依次是

PI=P2=p3=1！ p1=0.5， p5=p6=p7=0.2， P8 =O.1.

（1）该选手能闯过八关的概率是

P1 P2P3P4P5P6P7P8=0.0004.

（2）设该选手闯过第i关后所得的累计家庭梦想基金分别为随机变量Xi（i=1，2，3，…，8），可得E（X8）=30 000×0.000 4+0×0.999 6 =12（元）.

所以E（Xi）（i=1，2，3，…，8）的最大值是E（X3）=3 000元，因而该选手应决定闯三关后离开该比赛.

二、“双色球”中的概率问题

1.“双色球”的中奖规则“双色球”每注2元，投注号码由6个红色球号码和1个蓝色球号码组成.红色球号码从1～33中选择；蓝色球号码从1～16中选择.双色球游戏，每期按彩票销售额的50%、15%和35%，分別计提彩票奖金、彩票发行费和彩票公益金.

“双色球”彩票单注奖金封顶的最高限额为1 000万元.

“双色球”彩票以投注者所选单注投注号码（复式投注按所覆盖的单注计）与当期开出中奖号码相符的球色和个数确定中奖等级：

一等奖：7个号码相符（6个红色球号码和1个蓝色球号码）（红色球号码顺序不限，下同）；

二等奖：6个红色球号码相符；

三等奖：5个红色球号码和1个蓝色球号码相符；

四等奖：5个红色球号码，或4个红色球号码和1个蓝色球号码相符；

五等奖：4个红色球号码，或3个红色球号码和1个蓝色球号码相符；

六等奖：1个蓝色球号码相符（有无红色球号码相符均可）.

当期每注投注号码只有一次中奖机会，不能兼中兼得.

2.任投一注“双色球”，中奖的概率是297247/430 272≈0.0670945.

（1）任投一注“双色球”，中一等奖的概率是p1=1/17721088'

（2）任投一注“双色球”，中二等奖的概率是p2=15/17721088'

中二等奖，即所投注的6个红色号码与开奖的6个红色号码完全相同（所投注的蓝色球号码与开奖的蓝色号码不同）.因为从33个红色号码中任取6个有C633种情况，从16个蓝色号码中任取1个有C116种情况，而从15个蓝色号码（非中奖号码）中任取1个有C115种情况，

根据中奖规则，中六等奖包括三种情况：所投注的号码有2个红色球号码和1个蓝色球号码与开奖的相应号码相同；或1个红色球号码和1个蓝色球号码与开奖的相应号码相同；或0个红色球号码和1个蓝色球号码与开奖的相应号码相同.对应的概率分别为

3.任投一注“双色球”获得奖金的期望

我们任投一注“双色球”，不光关注其中奖的概率，还会关注其中奖的期望.

本文假设任买一注“双色球”，获得一等奖、二等奖、三等奖、四等奖、五等奖、六等奖的奖金分别是50 000元、5 000元、1 800元、300元、20元、5元.

由第2节的解答，可得奖金X的分布列及期望分别是

即任买一注“双色球”获得奖金的期望约是0.603 3941元.