卫星的发射速度——物理竞赛中宇宙速度的分析推导

杨阳

航天的首要问题是必须使飞行器具有足够大的速率，才能脱离地球、其他行星乃至太阳的引力，在空间作无动力飞行.这就涉及宇宙速度的计算.在高中物理教材中，只简单介绍了第一宇宙速度的求解方法，对于第二、第三宇宙速度没有进行有关数学的推导和运算.在物理竞赛中涉及了三大宇宙速度的具体求解方法.

卫星绕地球网周运动速度的参考系是地心，不是地面，卫星在地面未发射时已经具有相对地心的白转速度.

卫星发射速度是卫星从地面到达近地卫星高度时具有的速度，不是卫星在地面时的速度.

一、第一宇宙速度

从地面发射一物体，使之能在无动力情况下环绕地球做网周运动而不落下，所需的最小速度叫第一宇宙速度.设地球质量为M地=6×l0²⁴ kg，地球半径为R=6.4×10⁶ m.当卫星能沿以地球半径的网周运动时，它所受的地球引力正好等于卫星运动所需的向心力时，卫星的速度为v1，则有：

因为第一宇宙速度等于物体绕近地面的圆周轨道环绕运转的速度，所以又叫近地的环绕速度.航天器在距离地面表面数百公里以上的高空运行，地面对航天器引力比在近地面時要小，故其速度也略小于v1.

二、第二宇宙速度

从地面发射一物体，使之脱离地球的引力而不再回到地球，所需的最小发射速度称为第二宇宙速度.我们可利用机能能守恒定律来求解第二宇宙速度v2.设无穷远处的引力势能为0.根据地面上和无穷远处的机械能相等，有：

这就是地面上的物体要逃离地球引力范围所需的最小速度，故第二宇宙速度又叫脱离速度.当发射速度略大于第二宇宙速度时，虽然发射的人造星体将逃离地球引力范围，但仍受到太阳引力的作用，它将成为太阳系的人造行星.

三、第三宇宙速度

由地面发射一物体，使之不仅脱离地球的引力，而且还能脱离太阳的引力所需的最小速度叫做第三宇宙速度.我们把人造星体从地面发射到脱离太阳引力的过程假想地分成两步来处理：

第一步，使人造星体从地面发射到脱离地球引力：

第二步，使它再脱离太阳的引力.

有两点说明：

①因为地球绕太阳公转的椭网轨道的离心率很小，可以当作网来处理.

②发射时其他行星对物体的引力很小，可以忽略不计.

基于这两点简化，发射过程可以应用机械能守恒定律.

但由于地球绕太阳公转，人造星体在地球表面时已经有绕太阳公转的线速度.为此，可使发射方向与公转方向一致.不难算出，地球绕太阳公转的线速度为

即若要摆脱太阳引力的束缚飞出太阳系，其发射速度必须等于或大于16.7 km/s，所以第三宇宙速度又叫做逃逸速度.

需要注意的是，这是选择航天器人轨速度与地球公转速度方向一致时计算出的v3值；如果方向不一致，所需速度就要大于16.7 km/s了.可以说，航天器的速度是挣脱地球乃至太阳引力的唯一要素，目前只有火箭才能突破第三宇宙速度.