圆锥曲线的定点定值问题

张 杰

（大连中山高级中学，辽宁 大连）

圆锥曲线是高中数学选修重要组成部分，也是历年高考的重点。高考数学所涉及的圆锥曲线主要是椭圆、双曲线、抛物线以及直线与圆锥曲线的位置关系，一般结合向量、函数、不等式等知识点综合命题，这部分知识综合性强、计算量大，不易得分。接下来我想就近几年的高考浅谈下圆锥曲线的定点定值问题。

求定点定值问题的常用方法：

1.直接推理计算消去变量，从而得到题意要求的定点或者定值。

2.一般可以先设定点坐标，根据已知条件设参数，得到直线系或曲线系方程，再证明该方程与参数无关，得到一个有关定点坐标的方程组，而方程组的解就是所求的定点。

3.从直线的特殊位置找出直线过的特殊点，证明该点就是所求的定点，即特殊位置法。

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知P在椭圆C上且是第三象限的点，直线PA与y轴交于点M，而直线PB与x轴交于N点.求证：S△ABNM是定值.

（2）设P（m，n）（m＜0，n＜0），则直线PB的方程为y-N点坐标为，直线PA的方程为y=M点坐标为则

∴S△ABNM是定值.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若不过点A的动直线l与椭圆C交于P、Q两点，且，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标.

答案详解：（1）依题意直线AF与圆M相切，所以.故椭圆C的方程为

（2）由题意设直线AP的方程为y=kx+1，直线AQ的方程为将直线y=kx+1代入整理得（1+3k2）x2+6kx=0，解得x=0 或，所以P的坐标为，同理点，直线l的斜率，直线l的方程为直线l过定点

圆锥曲线作为高考必不可少的一道解答题，而定点定值又是这一题的压轴小问，希望每个备考的学生在平时的学习中重视定点定值问题的练习，争取拿下这个难点。