例说数学教学中概念课的问题设计

顾斌元

（甘肃省武威第八中学，甘肃 武威）

数学概念是数学教材结构的最基本的因素，正确理解数学概念，是掌握数学基础知识的前提．在新课标的要求下，数学概念课的教学,要让学生体会概念产生的源头,亲历概念形成的过程；自主抽象概括形成概念,自觉应用概念去解决问题．因此，正确认识数学概念，掌握概念并应用它解决数学问题就成为数学教学的重要组成部分．那么怎样才能使学生驾驭数学概念呢？现以“直线的倾斜角和斜率”一节教学为例，谈一谈在概念课教学中如何设计问题．

一、由问题产生概念

问题1：黑板上有两个正方形（边长差别很大），你能用三角板画出它们的对角线吗？小正方形的对角线容易画出：两个相对顶点确定一条直线，但在画大正方形对角线时却有无处下手之痛，陷入困境——三角板边长不够，怎么办？

鼓励学生思考，设计方案．

方案：可用一个顶点和一个与一边成45°的角确定这条对角线．

问题2：若选用大正方形的一个顶点和一个与一边成60°的角画直线，是否可能是正方形的对角线？

由此学生得到启示，一个点与一个角可确定一条直线，产生了“用角来刻画直线位置”的强烈愿望．这样便自然产生了“直线的倾斜角”的概念．

问题3：用直线的倾斜角和直线上一点（有序实数对）同时刻画一条直线时，在单位与进制方面有何不便？

单位不同，进制不同，产生极大不便，且考虑到直线上点P（x，y）有，这样便自然产生了用倾斜角的正切三角函数值来代替倾斜角的愿望，由此引入了“斜率”概念．

二、由概念产生问题

新的概念产生之后，往往由于学习得不断深入，发现初学概念有一定的“不完整”“不严谨”之处，这就需设计合理的问题对概念进行补充与完善，在教师的指导下归纳、叙述，从而变得简明清晰、严谨准确．

问题4：平行于x轴的直线倾斜角、斜率各为多少？

问题5：平行于y轴的直线倾斜角为多少？斜率如何？

问题6：直线倾斜角的取值范围是多少？

于是在规定下完善概念．

三、由问题拓展概念

问题 7：若直线过O（0，0），A（-1，-1），其倾斜角和斜率各为多少？

问题8：若直线过点P（5，4），Q（-3，2），则向量的坐标是多少？

由特殊到一般可设计以下问题．

问题9：若直线过点P（x1，y1），Q（x2，y2），向量的坐标是多少？作则直线OM的斜率为多少？直线PQ的斜率为多少？

鼓励学生思考，并根据思路画出路径：

如此自然形成了斜率公式．

四、由问题深化概念

数学概念形成后，严格地逐字逐句地叙述、审核通过具体例子说明内涵、外延，引导学生利用概念解决问题和发现概念在解题中的作用，从而强化对概念的巩固和掌握，是数学概念教学的重要环节，此环节操作中问题设计的成功与否，直接影响教学效果．问题过于简单重复，达不到提高的效果，过于综合又使学生力不从心．因而在这一阶段的问题设计，应遵循循序渐进的原则，问题应有梯度，要有层次，由直接应用概念到概念的变式应用，逐步加深和提高．在学生理解了斜率公式之后，可设计以下递进式题组来巩固提高对概念的进一步理解掌握．

问题 10：已知直线过A（1，3），B（m，2），求直线的倾斜角与斜率．

问题 11：已知直线过P（2m+3，m），Q（m-2，1）.

当m为何值时，直线与y轴垂直？

当m为何值时，直线与x轴垂直？

当m为何值时，直线倾斜角为

通过几个问题的解决，加深了学生对直线的倾斜角和斜率概念的认识，使学生的认识提高了一个层次．