函数零点存在性与参数取值范围探析

冯永杰

（甘肃省陇南市两当县第一中学，甘肃 陇南）

函数的零点本质上是函数图像与横轴交点的坐标，但在应用中，横坐标的这种“跨界性”更具有意义，因此函数的零点就简化为用横坐标的值来表示了。关于函数的零点，常见的问题有：（1）连续函数零点存在性的确立；（2）连续函数零点个数的判断；（3）用二分法求函数零点的近似值。近几年高考中，（1）（2）类问题比较常见，其中又涉及参数范围的求解，是近几年高考的热点。由于函数零点与方程根的关系，问题的解决途径可以转化为方程来解决。下面通过近两年的高考试题中函数零点相关问题的创新解析，展现数学中的划归思想、数形结合思想，感受数学思想方法的魅力.

一、（2017全国3理11）已知函数f（x）=x2-2x+a（ex-1+e-x+1）有唯一零点，则a=（ ）

【解析】由条件得：f（2-x）=（2-x）2-2（2-x）+a（e2-x-1+e-（2-x）+1）=x2-2x+a（ex-1+e-x+1）=f（x）

即x=1为f（x）的对称轴，由题意得，f（x）有唯一零点，

∴f（x）的零点只能为x=1，由f（1）=12-2·1+a（e1-1+e-1+1）=0

点评：本题考查了函数零点的概念以及利用函数的对称性确立零点的方法。

二、（2017全国1理21）已知函数f（x）=ae2x+（a-2）ex-x．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．

【解析】（1）由于f（x）=ae2x+（a-2）ex-x

f′（x）=2ae2x+（a-2）ex-1=（aex-1）（2ex+1）

①当时a≤0，aex-1<0，2ex+1>0．从而f′（x）<0恒成立．则f（x）在 R 上单调递减；②当时 a>0，令 f′（x）=0，从而 aex-1=0，得x=-lna．x∈（-∞，-lna）时，f′（x）<0，x∈（-lna，+∞）时，f′（x）>0.综上可知，当a≤0时，f（x）在R上单调递减；当a>0时，f（x）在（-∞，-lna）上单调递减，在（-lna，+∞）上单调递增.

（2）由（1）知，

当a≤0时，f（x）在R上单调递减，故f（x）在R上至多一个零点，不满足条件．

点评：本题考查用分类讨论思想确定函数的单调区间，根据函数零点的个数求参数的取值范围时，灵活运用放缩法、数形结合解决问题.

三、（2018全国2理21）已知函数f（x）=ex-ax2．

（1）若a=1，证明：当x≥0时，f（x）≥1；

（2）若f（x）在（0，+∞）只有一个零点，求a．

【解析】（1）当a=1时，f（x）=ex-x2，则f′（x）=ex-2x

令g（x）=ex-2x，得g′（x）=ex-2由g′（x）=0得x=ln2，易知g（x）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）单调递增，g（x）在［0，+∞）内有最小值g（ln2），g（ln2）=2-2ln2=2（1-ln2）>0，从而f′（x）≥g（ln2）>0恒成立，故f（x）在［0，+∞）上递增∴f（x）≥f（0）=1.

点评：本题（2）考查利用划归思想、数形结合的思想，根据函数零点的个数求参数的值.

通过以上分析可看出，零点及其相关问题的考查是近几年高考的热点，在掌握零点判定定理的条件下，合理选择数学方法，能有效地解决函数零点问题中的参数范围问题.