从必要性、合理性视角下谈数学概念的教学策略

杨智勇

（广州市从化区第四中学，广东 广州）

数学概念是客观现象的数量关系和空间形式的本质属性的反映，是人类认识事物的智慧结晶，是思维的基本单位。它起始于问题，最终又帮助人们以此为据点去认识解决新的问题，是数学教学的重中之重。但常因其抽象的学科特征总给人以冰冷的感觉。积累数学活动体验，经历概念的发现、发展、生成、再创造过程，以具体的经验作为支撑，那么教师应如何帮学生打开数学概念这扇知识宝殿的大门呢？一是学生要有进门的欲望，二是学生要有合情合理的进门途径。即教师应解决概念学习的必要性和学习探究过程合理性的问题，追求自然生成的概念教学。下面笔者就概念的情景引入、数学建构谈一点体会。

一、情景引入——体现数学概念学习的必要性

疑为思之源，思为智之本。学习接触一个新事物，要激发学习者强烈的求知欲望，莫过于让学生产生疑惑或强烈的认知冲突。所以对于概念的教学首先应解决概念学习必要性的问题，即为什么要学。在学习充要条件时，笔者以学生中段考试题中错误的解法以案例的形式展示出来。要求学生指出错误，并深入分析错因。

观察案例：若关于x的不等式kx2+kx+2>0的解集为R，求k的取值范围？

解：∵kx2+kx+2>0的解集为R，

当k>0时，由二次函数的图像可知此时有：Δ=b2-4ac=k2-8k<0，解得k的范围为0

当k<0时，由二次函数的图像可知此时不存在这样的k满足题意。

综上所述，k的取值范围是｛k|0

生1：还有k=0时，此时2>0恒成立。所以综上所述，k的取值范围是｛k|0≤k<4｝。

师：为什么会犯这样的错？

生2：因为把它当作一元二次不等式来处理。没有考虑k=0的情况。

师：观察这个不等式，我们用定式思维去思考问题，犯了逻辑上的错误。如何厘清问题的条件、结论之间的逻辑关系？尽量少或不犯这样的错误，这就是我们今天要学习的课题。

温故而知新。以学生答卷中存在的典型问题切入，既让学生感到熟悉亲切，引起共鸣，又能激发对新知的探究欲望，同时教师以为什么错进一步引导学生分析错因，最大限度发挥错误的价值，为学习新知创设了情景。又如在学习分类相加、分步相乘的计数原理时，我从学生生活中的案例入手：若你不慎遗失银行卡或存折，你会担心别人捡到你的卡或存折，从而把你的钱取走吗？你能从数学“量”的角度做到以理服人吗？让学生产生“惑”，既引起学生学习的兴趣，又激发学生探索新知的欲望。数学概念一般具有丰富的现实原型，引入应更自然、更贴切生活。

二、数学建构——体现概念获得的合理性

数学代表着理性，学生在数学概念学习、探究、生成、再创造过程中，在知识呈现上、问题设置上、思维发展上应体现合理性。

学习概念新知的过程中，知识呈现上的合理性主要体现在以下几方面：

①知识产生的背景或情景应该是学生熟悉的，既能激发学习兴趣，又能跳一跳摘到果子。切忌晦涩、深奥，一开始就给学生一个下马威。如在“充要条件”概念获取中，笔者以学生自己所在的班级作为问题的背景：

情景问题：把下列命题写成“若p则q”的形式，并判断真假。你能用集合的韦恩图表示这种逻辑关系吗？

命题 p：赵××是从化四中高二（2）班的学生；命题 q：赵××是从化四中高二级的学生。

命题 p：x≥5；命题 q：x≥1。

②所呈现的知识应该是符合学生认知的。如在学习函数零点时不应该涉及连续函数这个未知概念，只能从直观图像：一条连续不断的曲线入手。又如笔者在p⇒q可知p是q的充分条件，但同时q是p的必要条件。本课的难点如何突破呢？从“无之必不行”入手，必要性是无“之”必不行。故由命题若p则q写出若﹁p则﹁q，并判断它们的真假来突破必要性的难点，但是却生生割裂了教材，不符合学生的认知规律及知识的连贯性、系统性，决定由原命题及其逆否命题若﹁q则﹁p来设计教学。联系刚接触的四种命题，以原命题的逆否命题入手来探讨q对于p的必要性，顺应学生的认知规律。

③所呈现的知识应该凸显学生对概念全面的认识、深刻的理解。盲人摸象永远无法了解事物的真相和全部，如认为y=ax2+bx+c就是二次函数。不识庐山真面目，只缘身在此山中。在概念的学习中，应有意识凸显概念的内涵与外延，概念的内涵应通过大量的事例来分析、比较、归纳、抽象出概念的本质属性，揭示概念与它的逆命题都是真命题。由新概念联想、拓展、应用到已有的与之相关的具体知识，体现由具体到一般、又由一般到具体的认识过程；应有意识从反例强化，加深对概念的甄别；应有意识从数量关系、空间形式或改变概念的某些本质属性等多角度来认识概念；应有意识从不同角度给概念下其他可能的定义。

问题是数学的核心，是知识的载体，是学习动因的第一驱动力。陶行知则说：“发明千千万，起点在一问。”以问题驱动概念新知的学习，如何“问”同样显得举足轻重。

①有效的问题设计应基于学生的认知水平，着力于学生的知识、能力、思维的生长点。笔者在“充要条件”中介绍了p⇒q可知p是q的充分条件，同时q是p的必要条件后，基于学生认知，进行巩固训练，着力于知识生长点及时进行应用，同时生成新知充分必要条件。设计了一组题组：

Ⅰ下列“若p则q”的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？

（1）若 x=1，则 x2-4x+3=0；

（2）若两直线平行，则这两条直线的斜率相等。

Ⅱ如图1：p：开关闭合，

图1

q：灯泡亮；观察p和q之间有怎样的逻辑关系？

Ⅲ你能找到两个命题之间类似的逻辑关系吗？

Ⅳ你能用集合的韦恩图表示这种关系吗？

基于学生的认知水平，在学生的最近发展区设计问题，能引起学生的共鸣，激发学习的兴趣，提升教学效能；反之，若离开学生的认知水平设计问题，就不能有效调动学生的积极性，课堂表现为人人都不开口，被动接受知识，学生没有参与课堂，没有思维活动，也就谈不上对概念的准确、深刻理解、掌握。

②问题设计应尽量多一点变式、多一次追问，凸显概念在学生心中从“有”到“更有”的精致过程。题海无涯，反思是岸。课堂教学是学生学好数学的主阵地，要实现高效教学，教师必须最大限度地挖掘问题的作用，使数学概念经历从日常语言到朴素的数学语言到图形语言再到数字化符号的阶段，使学生经历从概念的生成、发展、建构再到应用的过程。笔者在“计数原理”设计了如下问题串：

情景问题1：如果用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给从化的景区编号，那么总共能够编出多少种不同的号码？

变式一：用一个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以A1，A2，···，B1，B2，···的方式给从化景区编号，总共能编出多少种不同的号码？

追问二：以上两个计数问题的结果相同吗？为什么不同或者说是什么导致了它们的不同？

追问三：从化景区有4个较大的温泉休闲点，3条绿道，2个国家森林公园，一旅行团来从化旅游。

（1）从以上景点中任取一处，有多少种不同的取法？

（2）从三类旅游景点中各取一处，有多少种不同取法？

（3）从三类旅游景点取2处不同种类的景点，有多少种不同的取法？

笔者结合身边景点的具体实例，通过变式一、追问二让学生通过列树状图经历两个计数原理的抽象、概括、发现过程，通过追问三体验两个计数原理的联系与区别，帮助学生从整体上把握。概念教学在设置问题时不应是一座座“独木桥”，而是错综复杂的“立交桥”。如何引导学生看清它从哪里来，可以怎么走？还能延伸到哪里去？而变式和追问能引导学生构建良好的知识结构，进而使学生由知识到技能，最终形成能力。

数学是一门思维的科学，而数学概念恰是前人大量智慧的结晶。学生经历概念的发现、发展、生成、再创造过程，就是思维不断提升的过程，应是春风化雨、润物无声的过程。

Ⅰ教学内容避免琐碎、零乱；教学环节避免机械和重复；教学方式避免把概念课上成例题与习题讲解课，从而构建脉络清晰、主次分明、纲举目张的课堂结构。简洁、顺畅、自然。既遵循思维的本质特征，又符合学生的心理需求，从而使学生的思维得到很好的发展和提升。如笔者在“充分条件与必要条件”概念教学中制定如下的教学流程：

Ⅱ数学思维的发展要遵循人们心理认知的规律。心理学告诉我们人们认识新事物是一个螺旋式上升、反复加深的过程，也是思维不断深化、品质不断提升的非线性过程。它是一个长期的过程，绝不能毕其功于一堂课。这就要求我们设计课堂教学内容时要懂得选择、取舍、整合，不能全面开花、全线出击。教师应居高临下，站在系统的角度，根据学生的认知水平来决定哪些该取，哪些该舍，哪些可以现在取，哪些应该先舍后再取。如在教学指数函数时，课本中用的分别是细胞分裂和放射性物质衰变，例子虽好但与学生的认知有一定距离，可舍。教师可以请同学们拿出一张普通的纸设置问题：（1）对折次数、纸的层数的关系是什么？（2）设纸的面积为1，则纸的面积与对折次数的关系？直观具体有操作性。然后进一步追问这两个函数有什么异同，从而归纳出指数函数的概念。再从概念的内涵、外延着力从正反两个角度及变形问题，夯实学生对指数函数的理解、把握。以上的教学设计对课本中的案例“舍”，对函数的图像、性质“舍”，对指数函数的概念及其本质特征“取”，对概念的简单应用“取”。整节课自然、流畅、重点突出、脉络清晰，符合学生在体验中获取经验，不断反思、修正、精致、提升，最后形成抽象概念，并适当应用的心理认知规律。

李邦河院士曾说：“数学是玩概念的。”尤其在素质教育、新课标、新高考的背景下，我们只有充分重视概念的教学，着力让学生体验数学概念的再生成、再创造的过程，才能真正夯实学生对抽象数学概念的理解、掌握，才能构建良好的知识体系，才能主动、快速检索到相关知识解决问题，才能着力提高学生解决问题的能力。